Enunciado

Determine a diferencial da função.

v = y cos ⁡ x y

Passo 1

Opa, tudo tranquilo? Questãozinha de diferencial, vamos lá!

A questão nos dá a função

v = y cos ⁡ x y

E nos pede para encontrar o diferencial d v !

Mas como fazemos isso?

Para uma função do tipo v ( x , y ) , o diferencial pode ser descrito como

d v = v x x , y d x + v y ( x , y ) d y

Dessa forma, só precisamos encontrar as derivadas parciais v x e v y para modelar nossa expressão!

Passo 2

Calculando as derivadas parciais (lembrando que tornamos as variáveis que não estão envolvidas na derivação como constantes)

∂ v ∂ x = y ∂ cos ⁡ x y ∂ x

v x x , y = y ⋅ - y ⋅ sen ⁡ x y

v x x , y = - y 2 sen ⁡ x y

∂ v ∂ y = ∂ y cos ⁡ x y ∂ y

Usando a regra do produto

v y x , y = 1 ⋅ cos ⁡ x y + y ⋅ - x sen ⁡ x y

v y x , y = cos ⁡ x y - x y sen ⁡ x y

Substituindo na fórmula, ficamos com

d v = - y 2 sen ⁡ x y d x + cos ⁡ x y - x y sen ⁡ x y d y

Resposta

d v = - y 2 sen ⁡ x y d x + cos ⁡ x y - x y sen ⁡ x y d y

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