Quatro números positivos, cada um menor que 50 , são arredondados até a primeira casa decimal e depois multiplicados. Utilize os diferenciais para estimar o máximo erro possível no cálculo do produto que pode resultar do arredondamento.

Passo 1

E aí, pessoal! Tudo certo?

Nessa questão nós temos a informação de que quatro números, arredondados até a primeira casa decimal, são multiplicados e queremos usar os diferenciais para estimar o máximo erro possível no calculo desse produto.

A multiplicação M é uma função que depende dos quatro números x , y , z e w , ou seja,

M = x y z w

Como o enunciado pediu, vamos estimar o erro pela diferencial. Para isso vamos, lembrar o que é o diferencial de uma função.

Suponha uma função f de n variáveis x 1 , x 2 ,   … ,   x n . O diferencial dessa função é

d f = ∂ f ∂ x 1 d x 1 + ∂ f ∂ x 2 d x 2 + … +   ∂ f ∂ x n d x n  

Então, para a nossa função M , de quatro variáveis, teremos quatro termos:

d M =   ∂ M ∂ x d x + ∂ M ∂ y d y + ∂ M ∂ z d z +   ∂ M ∂ w d w  

Bom, uma vez que conseguimos escrever o diferencial,nós conseguiremos estimar o máximo erro.

Vem comigo que eu te mostro.

Passo 2

Temos que calcular as derivadas parciais. Como M = x y z w , as derivadas serão

M x = y z w

M y = x z w

M z = x y w

M w = x y z

Então o diferencial é dado por

d M = y z w   d x + x z w   d y + x y w   d z + x y z   d w

Passo 3

Como os números foram arredondados para a primeira casa decimal, o erro máximo para cada numero é 0,05 , isto é, d x = d y = d z = d w = 0,05 . Para calcular o erro máximo, como todos os números são menores que 50 , para o calculo do erro usamos esse valor limite

d M = 50 3 ⋅ 0,05 + 50 3   ⋅ 0,05 + 50 3   ⋅ 0,05 + 50 3   ⋅ 0,05

d M = 4 ⋅ 50 3 0,05 = 25   000

Resposta

2 5   000

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