Uma faixa interna de 8   c m de largura é pintada na borda de um retângulo de dimensões 30   m por 60   m . Utilize os diferenciais para aproximar a área, em metros quadrados, da faixa pintada.

Passo 1

Opa, tudo beleza? Questãozinha de diferenciais com contexto, vamos lá!

A questão nos descreve um retângulo de dimensões x , y = ( 30 ,   60 ) cuja borda foi pintada da seguinte forma

De forma que podemos dizer que

d x = d y = 8

E em seguida o enunciado nos pede para usar o conceito de diferenciais para calcular a área da faixa pinta! Mas como fazemos isso?

Se a área do retângulo é x por y , nós podemos escrever o seguinte:

A x , y = x y

De forma que a diferencial será dada por

d A = ∂ A ∂ x   d x + ∂ A ∂ y   d y

Então só precisamos calcular essas derivadas parciais e teremos nosso diferencia d A !

Passo 2

Para encontrar ∂ A / ∂ x nós tratamos y como constante, de forma que:

A ( x ) = x y

∂ A ∂ x = y ∂ x ∂ x

∂ A ∂ x = y

E da mesma forma encontramos ∂ A / ∂ y como sendo

∂ A ∂ y = x

De forma que a nossa expressão fica

d A = y d x + x d y

Substituindo todos os valores na expressão, ficamos com

d A = 60 ( 0,08 ) + 30 ( 0,08 )

d A = 7,2   m 2

Resposta

A área da faixa é

7,2   m 2

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