Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.4 - Ex. 34
Use diferenciais para estimar a quantidade de metal em uma lata cilíndrica fechada de de altura e de diâmetro se o metal das tampas de cima e de baixo possui de espessura e o das laterais tem espessura de .
Passo 1
Pessoal, nessa questão nós queremos usar diferenciais para estimar a quantidade de metal em uma lata cilíndrica.
Para achar a quantidade de metal na lata, podemos fazer a estimativa como sendo o erro do volume da lata. Já que temos a medida da lata por fora, assumimos que o erro do volume é para as laterais e para a altura, que são as espessuras da lata, e esse erro nos dá uma aproximação para o volume de metal.
A lata é um cilindro, então podemos calcular o volume como sendo
onde é o raio da seção transversal do cilindro e é a sua altura.
Temos uma função das variáveis e , então o diferencial de volume será
Então basta calcularmos essas derivadas e usar os diferenciais e como sendo os erros associados às variáveis e .
Vamos às contas...
Passo 2
Se então a sua derivada com relação a será
E a derivada com relação a é:
Então o diferencial é
Passo 3
O enunciado nos diz que e , e pede para assumir um erro de e , ou seja, ele deu tudinho pra gente, é só substituir na nossa equação e partir pro abraço!
Então o volume de metal na lata pode ser aproximado por
Então, temos que: