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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.4 - Ex. 34

Use diferenciais para estimar a quantidade de metal em uma lata cilíndrica fechada de 10   c m de altura e 4   c m de diâmetro se o metal das tampas de cima e de baixo possui 0,1   c m de espessura e o das laterais tem espessura de 0,05   c m .

Passo 1

Pessoal, nessa questão nós queremos usar diferenciais para estimar a quantidade de metal em uma lata cilíndrica.

Para achar a quantidade de metal na lata, podemos fazer a estimativa como sendo o erro do volume da lata. Já que temos a medida da lata por fora, assumimos que o erro do volume é 0,05   c m   para as laterais e 0,2   c m para a altura, que são as espessuras da lata, e esse erro nos dá uma aproximação para o volume de metal.

A lata é um cilindro, então podemos calcular o volume como sendo

V = π r 2 h

onde r é o raio da seção transversal do cilindro e h é a sua altura.

Temos uma função das variáveis r e h , então o diferencial de volume será

d V = ∂ V ∂ r d r + ∂ V ∂ h d h

Então basta calcularmos essas derivadas e usar os diferenciais d r e d h como sendo os erros associados às variáveis r e h .

Vamos às contas...

Passo 2

Se V = π r 2 h ,   então a sua derivada com relação a r será

∂ V ∂ r = 2 π r h

E a derivada com relação a h é:

∂ V ∂ h = π r 2

Então o diferencial é

d V = 2 π r h   d r + π r 2   d h

Passo 3

O enunciado nos diz que h = 10   c m e r = 2   c m , e pede para assumir um erro de d r = 0,05   c m e d h = 0,2 , ou seja, ele deu tudinho pra gente, é só substituir na nossa equação e partir pro abraço!

d V = 2 π ( 2 ) ( 10 ) ( 0,05 ) + π ( 2 2 ) ( 0,2 )

d V = 2 π + 0,8 π = 2,8 π

d V = 8,79   c m 3

Então o volume de metal na lata V m pode ser aproximado por d V

V m ≈ d V

Então, temos que:

V m ≈ 8,79   c m 3

Resposta

≈ 8,79   c m 3

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