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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 14.4 - Ex. 26

Determine o diferencial da função.

u = r s + 2 t

Passo 1

Oie, tudo bem? Vou te ajudar a resolver essa atividade.

A gente tem a função:

u = r s + 2 t

E queremos encontrar o seu diferencial d u . Aqui temos uma função que depende de 3 variáveis, então seu diferencial também irá.

E para essa função ela se dará da seguinte forma:

d u = ∂ u ∂ r d r + ∂ u ∂ s d s + ∂ u ∂ t d t

Então veja que precisaremos calcular a derivada parcial da nossa função em relação as suas 3 variáveis.

Para calcular a derivada parcial devemos derivar em relação a variável que estaremos trabalhando no momento, e considerar todas as outras variáveis como constates.

Passo 2

Sabendo que a derivada de 1 h vale:

d d h 1 h = - 1 h 2

Precisaremos utilizar a regra da cadeia, pois temos aqui uma composição de funções. A regra da cadeia é a seguinte:

d y d x = d y d u ⋅ d u d x

A gente deriva a função mais externa e multiplica pela função mais interna.

Logo pela regra da cadeia podemos chegar aos seguintes resultados:

u = r s + 2 t

Derivando:

∂ u ∂ r = ∂ ∂ t ⋅ 1 s + 2 t

Aplicando a regra da cadeia:

∂ u ∂ r = r ⋅ - ∂ ∂ t s + 2 t s + 2 t 2

Temos então:

∂ u ∂ r = - 2 r s + 2 t 2

Veja que precisamos utilizar a regra da cadeia aqui pois o nosso h possui uma função dentro dele, gerando uma composição de funções:

u = r s + 2 t

Aplicando a regra da cadeia:

∂ u ∂ s = - r s + 2 t 2 ⋅ ∂ ∂ s s + 2 t

∂ u ∂ s = - r s + 2 t 2

Vamos agora para a última derivada parcial:

u = r s + 2 t

Aqui a gente também precisa aplicar a regra da cadeia:

∂ u ∂ t = - r s + 2 t 2 ⋅ ∂ ∂ t s + 2 t

∂ u ∂ t = - 2 t s + 2 t 2

Passo 3

Substituindo o resultado das derivadas na equação de diferencial nós teremos:

d u = ∂ u ∂ r d r + ∂ u ∂ s d s + ∂ u ∂ t d t

d u = d r s + 2 t - r s + 2 t 2 d s - 2 r s + t 2 d t

Resposta

d u = d r s + 2 t - r s + 2 t 2 d s - 2 r s + t 2 d t

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