Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 14.3 - Ex. 52

Determine as derivadas parciais de segunda ordem

v = x + y 2

Passo 1

Fala ai galerinha. De boa! 😉

O objetivo da questão é calcular as derivadas parciais de segunda ordem da função

v = x + y 2

Para resolver, primeiro calculamos as derivadas parciais de primeira ordem v x ​ e v y , que representam as taxas de variação de v em relação a x e y , respectivamente. Em seguida, calculamos as derivadas parciais de segunda ordem v x x , v x y ​, v y y e v y x que indicam como as taxas de variação das derivadas parciais de primeira ordem mudam em relação a cada variável.

Existem três derivadas parciais de segunda ordem e que são iguais a:

v x x , v x y   e   v y y

Lembrando que v x y = v y x

Neste passo vamos lembrar da regra de derivação que vamos utilizar.

  1. Regra da cadeia

    2. d z d x ​ = u ' ( v ( x ) ) ⋅ v ' ( x )

  2. Regra do Quociente

v x u x ​ ' = u ' x ⋅ v x - u x ⋅ v ' x ​ v x 2

Agora é só analisar quando precisamos utilizar. 😊

Passo 2

Resolvendo as derivadas em x temos o seguinte resultado da regra da cadeia:

u = x + y 2

d u = 1 d x

Substituindo

v x = d d u u

v x = 1 2 ( u ) 1 2 - 1

v x = 1 2 u - 1 / 2

v x = 1 2 1 ( u ) 1 2 =

v x = 1 2 x + y ²

Passo 3

Agora vamos derivar novamente em relação a x , pela regrada cadeia. Vamos colocar 1 2 como constante.

u = x + y 2

d u = 1 d x

Substituindo

v x = 1 2 ∙ 1 x + y 2 = 1 u

v x x = d d u 1 u = d d u u - 1 2

v x x = - 1 2 u - 1 2 - 1 = - 1 2 u - 3 2

v x x = - 1 2 1 x + y 2 3 2

Agora é a hora de colocarmos 1 2 de novo.

v x x = - 1 4 x + y 2 3 2

Passo 4

Podemos também fazer v x y .

v x = d d y 1 2 x + y 2

Vamos colocar 1 2 como constante.

v x = 1 2 ∙ d d y 1 x + y 2

Agora em relação a y .

u = x + y 2

d u = 2 y   d y

Substituindo

v x = 1 u = u - 1 2

v x y = d d u u - 1 2 = - 1 2 u - 1 2 - 1 d u

v x y = - 1 2 u - 3 2 ∙ 2 y

Voltando aos termos x e y

v x y = - 1 2 x + y 2 - 3 2 ∙ 2 y

v x y = - 1 2 ( x + y 2 ) 3 2 ∙ 2 y

Voltando o colocar o termo constante

v x y = - 1 4 ( x + y 2 ) 3 2 ∙ 2 y

Podemos cortar o 2 , obtemos

v x y = - y 2 ( x + y 2 ) 3 2

Passo 5

Depois de tantos cálculos achou que acabamos? Só falta um, a derivada de segunda ordem de y . SIMBORA! Animação!

Agora para as derivadas em y , pela regra da cadeia.

v y = d d y x + y 2  

Substituindo

u = x + y 2

d u = 2 y   d y

Temos então.

v y = d d y u  

v y = 1 2 u 1 2 - 1 ∙ d u = 1 2 u - 1 2 ∙ d u

Como d u = 2 y   d y , temos

v y = 1 2 x + y ² ∙ 2 y   d y

Cortando 2 , obtemos

v y = y x + y 2

Passo 6

E por fim. Temos que derivar novamente por y .

Perceba que temos y no denominador e no numerador, isso indica que teremos que aplicar a Regra do quociente.

u = x + y 2

v = y

u ' = 2 y 2 x + y 2

v ' = 1

Substituindo

v y y = x + y 2 - y × 2 y 2 x + y 2 x + y 2

Fazendo mmc em cima temos:

v y y = x + y 2 - y 2 x + y 2 x + y 2 = x x + y 2 3 2

Agora para confirmar v y x :

v y x = y d d x 1 x + y 2 = y × - 1 x + y 2 × 1 2 x + y 2 = y 2 x + y 2 3 2 = v x y

Tudo de boas!

Resposta

v x x = - 1 4 x + y 2 3 2

v x y = y 2 x + y 2 3 2

v y y = x x + y 2 3 2

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Nos exercícios 42a47 , determinar as derivadas parciais indicadas w = 1 - x 2 - y 2 - z 2 , ∂ 2 w ∂ z 2 , ∂ 2 w ∂ x ∂ y
Nos exercícios 42a47 , determinar as derivadas parciais indicadas f x , y = 1 x 2 + 4 y 2 , ∂ 2 f ∂ x 2 , ∂ 2 f ∂ x y
Nos exercícios 42a47 , determinar as derivadas parciais indicadas z = ln ⁡ ( x 2 + y 2 ) , ∂ 3 z ∂ x ∂ y 2
Verificar o teorema de Schawartz para as funções:b) z = x e x + y 2
Encontrar as derivadas de 3 ª ª ordem da funçãoz = x + y + x^3 - x^2 - y^2