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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 14.5 - Ex. 10

Utilize a Regra da Cadeia para determinar ∂ z / ∂ s e ∂ z / ∂ t

10-

z = e x y   t g   y ,       x = s + 2 t ,       y = s / t

Passo 1

Faaaaala galera! Essa questão nos deu a função

z = e x y tg ⁡ y ,

onde x = s + 2 t e y = s / t e quer que a gente determine as derivadas ∂ z / ∂ s e ∂ z / ∂ t .

Veja que z   não depende explicitamente de s e t , mas indiretamente por meio de x e y . Dessa forma, vamos precisar da regra da cadeia!

Para uma variável, se temos uma função f ( x ) , onde x = x ( t ) , a derivada de f com relação a t seria:

d f x d t = d f d x ⋅ d x d t

Assim, se temos uma função z = f ( x , y ) , onde x e y são funções de um parâmetro t , fazemos a mesma coisa para cada variável e somamos os resultados:

∂ f x , y ∂ t = ∂ z ∂ x ⋅ ∂ x ∂ t +   ∂ z ∂ y ⋅ ∂ y ∂ t

Da mesma forma, se x e y dependem de um parâmetro s , teremos:

∂ z ∂ s = ∂ z ∂ x ∂ x ∂ s + ∂ z ∂ y ∂ y ∂ s

Então, nessa questão, o nosso trabalho é calcular essas derivadas e substituir nas expressões para ∂ z / ∂ s e ∂ z / ∂ t .

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar calculando ∂ z / ∂ s :

Para lembrar,

z = e x y tg ⁡ y

x = s + 2 t e y = s / t

E temos que calcular:

∂ z ∂ s = ∂ z ∂ x ∂ x ∂ s + ∂ z ∂ y ∂ y ∂ s

Então, derivando parcialmente com relação a x , obtemos:

∂ z ∂ x = tg ⁡ y   e x y ∂ ∂ x x y

∂ z ∂ x = y ⋅ tg ⁡ y   e x y

Derivando x com relação a s :

∂ x ∂ s = ∂ ∂ s s + 2 t

∂ x ∂ s = 2 t

Agora vamos fazer as derivadas ∂ z / ∂ y e ∂ y / ∂ s :

∂ z ∂ y = ∂ ∂ y ( e x y tg ⁡ y )

Aqui vamos ter que usar a regra do produto, pois temos duas funções de y que se multiplicam.

∂ z ∂ y = x   e x y tg ⁡ y + e x y sec 2 ⁡ y  

Agora calculamos ∂ y / ∂ s :

∂ y ∂ s = ∂ ∂ s s t = 1 t

Juntando todos esses resultados e substituindo na expressão de ∂ z / ∂ s :

∂ z ∂ s = y ⋅ tg ⁡ y   e x y + 1 t x ⋅ e x y tg ⁡ y + e x y ⋅ sec 2 ⁡ y  

Passo 3

Agora repetimos os mesmos passos para ∂ z / ∂ t :

∂ z ∂ t = ∂ z ∂ x ∂ x ∂ t + ∂ z ∂ y ∂ y ∂ t

Lembrando que:

z = e x y tg ⁡ y

x = s + 2 t e y = s / t

Note que já calculamos ∂ z / ∂ x e ∂ z / ∂ y anteriormente, então só vamos calcular ∂ x / ∂ t e ∂ y / ∂ t .

Começando por ∂ x / ∂ t :

∂ x ∂ t = ∂ ∂ t s + 2 t = 2

Agora ∂ y / ∂ t :

∂ y ∂ t = ∂ ∂ t s t  

∂ y ∂ t s t = s ∂ ∂ t 1 t

∂ y ∂ t = - s t 2

Substituindo na expressão de ∂ z / ∂ t , obtemos:

∂ z ∂ t = 2 y ⋅ tg ⁡ y   e x y - s t 2 x ⋅ e x y ⋅ t g   y + e x y ⋅ sec 2 ⁡ y

Resposta

∂ z ∂ s = y ⋅ tg ⁡ y   e x y + 1 t x ⋅ e x y tg ⁡ y + e x y ⋅ sec 2 ⁡ y  

∂ z ∂ t = 2 y ⋅ tg ⁡ y   e x y - s t 2 x ⋅ e x y ⋅ t g   y + e x y ⋅ sec 2 ⁡ y

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