Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 15.1 - Ex. 2

Determine diferenciável em e suponha que existe tal que para todo . Prove que

Para quaisquer que sejam em .

Passo 1

Se ligua que a questão ta com uma cara de TVM, a única coisinha diferente é só a norma, mas isso é o de menos, beleza?

Então precisamos deixar nossa função nas condições do teorema, né?

Não lembra quais são as hipóteses? Tá, vou colocar aqui pra você:

“Dados um conjunto A aberto do e dois pontos de A tais que o segmento esteja contido em A. Nestas condições, se é diferenciável em A, então existirá pelo menos um ponto interno ao segmento tal que:

”

Passo 2

Considere quaisquer. E considere . Perceba que esse conjunto é aberto e é não vazio pois o ponto .

Então considere e em .

Como é diferenciável em , em particular, é diferenciável em . Então , pelo Teorema do Valor Médio, existe pelo menos um ponto interno ao segmento tal que:

Passando a norma nos dois lados da igualdade, temos que

Perceba que no lado direito, temos apenas o módulo, isso acontece porque a operação é o produto interno do , e sua norma é o módulo, beleza?

Então temos o módulo de um produto interno, isso nos faz lembrar de uma coisinha: Desigualdade de Cauchy-Schuarz. “Queee? Falou grego” kkkk, relaxa ela é famosinha, é essa daqui: