Seja f(x, y) = ln(x + y) Prove que

|| f(x, y) - f(s, t) || ≤ || x, y - s, t ||

Para quaisquer que sejam (x, y) e (s, t) , com x > 1 , y > 1 , s > 1 e t > 1 .

Passo 1

Se ligue que a questão ta com uma cara da questão anterior né? Então, vamos tentar usá-la, para isso, vamos tentar deixar nosso problema nas hipóteses da questão, ou seja,

“Se existe M > 0 tal que | |     ∇ f x , y | | ≤ M     para todo x , y . E f é diferenciável num aberto A do R 2 então

| |   f x , y   - f s , t | |   ≤   M   | |   x , y - s , t | |  

Já temos que a função é diferenciável, exceto na origem, mas nossos pontos x > 1 , y > 1 , s > 1 e t > 1 , então não temos problema, blza?

Show!

Mas falta informações sobre o gradiente, então vamos achar esse cabra para ter as informações dele. Espie só,

∇ f x , y = ( 1 x + y , 1 x + y )

Vamos tirar a norma desse bicho ai pra a gente ver uma parada,

| |     ∇ f x , y | =   | |     = 1 x + y , 1 x + y | | =   1 2 x + y 2 + 1 2 x + y 2 ≤ 1  

Então, podemos usar a questão anterior, considerando um conjunto A = {   x , y ∈ R 2 |     x > 1   e   y > 1 }      

Resposta

| |   f x , y   - f s , t | |   ≤     | |   x , y - s , t | |  

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