Sejam A e B dois subconjuntos do R^2 não seja aberto. Prove que se A e B forem abertos, então A ∪ B e A ∩ B também são.

Passo 1

Vamos mostrar primeiro que A ∪ B é aberto.

Para isso, considere a ∈   A ∪ B . Então,

a ∈ A ou   a ∈ B .

Se a ∈ A , c como A   é aberto, existe r > 0 tal que B a ; r ⊂ A .  

Como A ⊆ A ∪ B   , temos que

B a ; r ⊂ A ⊆ A ∪ B ⟹   B a ; r ⊂   A ∪ B

Da mesma forma,

Se a ∈ B , c como B   é aberto, existe r > 0 tal que B a ; r ⊂ B .  

Como B ⊆ A ∪ B   , temos que

B a ; r ⊂ B ⊆ A ∪ B ⟹   B a ; r ⊂   A ∪ B

Logo, A ∪ B é aberto.

Agora, vejamos que A ∩ B .

Para isso, considere a ∈   A ∩ B . Então,

a ∈ A e   a ∈ B .

Se a ∈ A , e como A   é aberto, existe r 1 > 0 tal que B a ; r 1 ⊂ A .  

Da mesma forma,

Se a ∈ B , c como B   é aberto, existe r 2 > 0 tal que B a ; r 2 ⊂ B .  

Considere   r = min ⁡ {   r 1 ,   r 2 } .

Temos que B a ; r ⊂ A ∩ B .  

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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