Uma lata cilíndrica sem o topo é feita para receber V cm³ de líquido. Encontre as dimensões que minimizarão o custo do metal para fazer a lata.

Passo 1

Fala aí. Tudo certinho com você?

Bom, essa questão pede pra gente encontrar as dimensões que minimizarão o custo com metal para a fabricação de uma lata cilíndrica sem a tampa feita para receber um volume V .

Então a ideia aqui é pensar que a o metal será usado para a construção da superfície lateral e da base da lata. Sendo assim, precisaremos modelar o cálculo dessa superfície e encontrar as dimensões para que ela possua a menor área possível, mas tenha o maior volume.

Sendo:

S = A b a s e + A l a t e r a l

E

V = A b a s e ⋅ h

Vamos otimizar essas relações. Vem que te mostro como.

Passo 2

Podemos começar esboçando o desenho da lata, como sendo:

Como precisamos calcular as dimensões da superfície que nos trará o volume máximo do cilindro sem o topo, então temos a seguinte fórmula:

S = π r 2 + 2 π r h

Dentro dessa lata precisamos conseguir colocar um volume V , que tem por fórmula:

V = π r 2 h

Com a fórmula do volume conseguimos isolar uma das variáveis para facilitar a nossa resolução e a vida:

h = V π r 2

Substituindo h na fórmula da superfície do cilindro sem topo S :

S = π r 2 + 2 π r V π r 2

Que pode ser escrito com:

S = π r 2 + 2 V r

Passo 3

Como queremos o menor custo de material, precisamos minimizando S . E fazemos isso encontrando sua derivada e igualando a zero.

Assim, como

S = π r 2 + 2 V r

Sua derivada em relação a r será:

S ' r = 2 π r - 2 V r 2

E igualdando a zero, teremos:

2 π r - 2 V r 2 = 0

O que pode ser escrito com:

2 π r = 2 V r 2

π r 3 = V

E isolando r , temos:

r = V π 3 c m

Passo 4

Agora, substituindo r em h :

h = V π r 2

h = V π V π 2 3

e em V , temos:

V = V π 3 c m

E esse será o volume de nossa lata.

Resposta

Dimensões:

  • Raio: V π 3 c m
  • Volume: V π 3 c m
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