Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.6 - Ex. 28
Determine as direções em que a derivada direcional de no ponto tem valor .
Passo 1
Oie, tudo bem? Vou te ajudar a resolver essa atividade.
Aqui o enunciado pede a gente para que a gente encontre o conjunto de direações para qual a derivada direcional da função:
No ponto:
Tenha valo .
Veja então que o que deveremos fazer é encontrar a deivada direcional de no ponto, isso é dado por:
Em que e são as derivadas parciais de .
Passo 2
Antes de começar a análise das direções da derivada direcional, vamos descobrir quanto vale a derivada direcional no ponto que foi dado, tudo bem? Temos que:
As derivadas parciais no ponto são:
Derivando:
No ponto :
Substituindo aqui:
Sendo assim, teremos:
Passo 3
O enunciado nos pede as direções em que tem valor , então o que precisamos fazer aqui é:
Isolando , teremos:
Elevando ambos os lados ao quadrado:
Sabemos que pela trigonometria: , então:
Precisamos resolver essa equação:
Passo 4
Então galera, no passo anterior encontramos uma equação do segundo grau, não é mesmo?
Sendo assim, vamos resolve-la para descobrir os valores possíveis de ! Chamando para facilitar nossos cálculos, teremos:
Encontrando as raízes:
A segunda raiz é:
Voltando para a nossa variável, teremos:
Ou
E
E é isso, terminamos por aqui e um forte abraço.