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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 14.6 - Ex. 34

14.34. Suponha que você esteja escalando um morro cujo formato é dado pela equação z = 1000 - 0,01 x 2 - 0,02 y 2 onde x , y   e   z são medidos em metros, e você esteja em pé no ponto de coordenadas 50 ,   80 ,   847 . O eixo positivo de x aponta para o Leste e o eixo positivo dos y aponta para o Norte.

(a) Se você andar exatamente para o Sul, você começará a subir ou a descer? Com que taxa?

(b) Se você caminhar em direção ao noroeste, você começará a subir ou a descer? Com que taxa?

(c) Em que direção e sentido e inclinação é maior? Qual é a taxa de elevação nessa direção? Qual é o ângulo que o início desse caminho faz em relação

Passo 1

Oie, tudo bem? Vou te ajudar a resolver essa atividade.

Nessa atividade, a gente está escalando uma colina de forma:

z = 1000 - 0,01 x 2 - 0,02 y 2

E queremos saber nas letras a) e b) se iremos começar a subir ou descer com base na direção que caminhamos e qual é esse ritmo de crescimento ou descrecimento.

Para saber se irá subir ou descer devemos calcular a derivada direcional, se ela for positiva, isso quer dizer que o nível está aumentando, se for negativa quer dizer que está descendo.

No item c , devemos calcular a taxa máxima através do módulo do vetor gradiente. Assim igualaremos

t g   θ = ∇ f

Isso é, iremos igualar a tangente do ângulo da direção ao modulo do vetor gradiente.

Passo 2

Beleza, agora vamos resolver o item (a).

Ele pede para gente calcular na direção sul, então nosso vetor unitário é u = - j . Agora vamos usar a equação

D u z x , y = ∇ z x , y ⋅ u

Em que ∇ z é o gradiente da função e é dado por:

∇ z = z x ,   z y

Para calcular a taxa de variação.

Vamos primeiro então encontrar as derivadas parciais:

z = 1000 - 0,01 x 2 - 0,02 y 2

Derivando então em relação a x e considerando as outras constantes:

z x = - 0.02 x

Agora o mesmo para com y :

z y = - 0.04 y

Teremos então:

D u z 50,80 = - 0,02 50 i - 0,04 80 j ⋅ - j

Resolvendo esse produto escalar:

D u z 50,80 = 0 + 3,2 = 3,2

Isso significa que você começará a subir 3,2 metros para cada metro andado horizontalmente.

Passo 3

Agora a gente repete raciocínio para o item (b).

Agora estamos caminhando para noroeste, ou seja, a direção é - 1   i + 1   j .

Mas precisamos de um vetor unitário, então teremos que transformar ele em um unitário:

u = v v

Colocando o vetor e seu modulo:

u = - 1   i + 1   j - 1 2 + 1 2

u = 1 2 - 1   i + 1   j  

Então:

D u z 50,80 = - 0,02 50 i - 0,04 80 j ⋅ 1 2 - 1   i + 1   j  

Resolvendo esse produto vetorial:

D u z 50,80 = - 2,2 2 ≈ - 1,56

Isso significa que a cada metro que andamos horizontalmente, descemos 1,56 metros

Passo 4

Chegamos ao último item

Agora queremos saber em qual direção a taxa de elevação é maior. Para isso a gente tem que fazer o modulo do vetor gradiente no ponto de interesse:

∇ z 50,80 = - 0,02 50 2 + - 0,04 80 2

∇ z 50,80 = 11,24 ≈ 3,35

Agora para descobrir o ângulo basta usar:

tan ⁡ θ = 3,35

Então:

θ = tan - 1 ⁡ ( 3,35 ) ≈ 73,4 °

Resposta

a = 3,2 b = - 1,56 c = 73,4 °

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A temperatura no ponto x , y , z é dado por: T x , y , z = 200 e - x 2 - 3 y 2 - 9 z 2 Onde T é medido por º Cº e x , y , z m metros. Encontre a taxa de variação no ponto P 2 , - 1,2 na direção do pon
Admita que T ( x , y )=16-2 x ²-y ² ² ² represente uma distribuição de temperatura no plano x y . Determine uma parametrização para a trajetória descrita por um ponto P que se desloca, a partir do pon
Seja f x , y = x y . Determine uma parametrização para a trajetória descrita por um ponto P que se desloca, a partir do ponto (1,2), sempre na direção e sentido de máximo crescimento de f .
Seja f x , y = x arctan ⁡ x y . Calcule ∂ f ∂ u → ( 1,1 ) , onde u → aponta na direção e sentido de máximo crescimento de f , no ponto ( 1,1 ) .
Em que direção e sentido a função dada cresce mais rapidamente no ponto dado? E em que direção e sentido decresce mais rapidamente?a) f x , y = x 2 + x y + y 2 , em ( 1,1 ) .b) f x , y = ln ⁡ x 2 + y