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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 14.6 - Ex. 28

14.28. Determine as direções e sentidos em que a derivada direcional de f x , y = x 2 + sin ⁡ x y no ponto ( 1,0 ) tem valor 1.

Passo 1

Oie, tudo bem? Vou te ajudar a resolver essa atividade.

Ela é rápida de ser feita, o trabalho aqui será a derivação que teremos que fazer. Mas veja, a questão é bem direta, precisamos encontrar a derivada direcional de:

f x , y = x 2 + sin ⁡ x y

No ponto:

( 1,0 )

E precisamos encontra a direção e sentido da derivada direcional que possui valor:

D u f = 1

Para encontrar a derivada direcional devemos fazer:

D u f x , y = ∇ f ⋅ u →

Sendo

∇ f = f x ,   f y ,   f z

E u → é o vetor unitário do nosso vetor que indica a direção e sentido para a derivada direcional, ele é dado por:

u → = u u

Passo 2

O exercício nos dá os dados para o ponto ( 1 ,   0 ) , vamos usar então. Sabemos que

D u f 1,0 = 1

Então vamos calcular o vetor gradiente:

f x , y = x 2 + sin ⁡ x y

Derivando em relação a x :

f x = 2 x + y ⋅ cos ⁡ x y

Agora a gente deriva em relação a y :

f y = x ⋅ cos ⁡ x y

Temos então nosso vetor gradiente:

D u f x , y = ∇ f ⋅ u →

D u f x , y = 2 x + y ⋅ cos ⁡ x y i + x ⋅ cos ⁡ x y j

Substituindo o valor:

D u f 1,0 = 2 1 + 0 cos ⁡ 1 0 i + 1 cos ⁡ 1 0 j ⋅ u = 1

D u f 1,0 = 2 i + 1 j ⋅ u = 1

A gente pode determinar o ângulo a partir do eixo x positivo, aí basta colocar o que a gente pegou em componentes, o eixo x é cosseno e o eixo y é seno. Então fica

[ 2 c o s   θ + s i n   θ ] = 1

Passo 3

Agora a gente tem que isolar o θ dessa equação

[ 2 c o s   θ + s i n   θ ] = 1

Vamos começar isolando o seno

sin ⁡ θ = 1 - 2 cos ⁡ θ

Agora a gente eleva os dois lados ao quadrado

sin 2 ⁡ θ = 1 - 2 cos ⁡ θ 2

Agora a gente usa um truquezinho matemático, vamos usar a identidade trigonométrica

sin 2 ⁡ θ = 1 - cos 2 ⁡ θ

1 - cos 2 ⁡ θ = 1 - 2 cos ⁡ θ 2

Agora a gente só tem cosseno na equação

1 - cos 2 ⁡ θ = 1 - 4 cos ⁡ θ + 4 cos 2 ⁡ θ

Juntando os termos semelhantes

5 cos 2 ⁡ θ - 4 cos ⁡ θ = 0

Agora a gente coloca um cosseno em evidência

cos ⁡ θ 5 cos ⁡ θ - 4 = 0

Repare que pra essa equação fazer sentido a gente tem duas condições

cos ⁡ θ = 0

O que vai nos dar que

θ = π 2

Ou

5 cos ⁡ θ = 4

O que implica

cos ⁡ θ = 4 5

Isso nos dá que

θ = 2 π - cos - 1 ⁡ 4 5 ≈ 5,64

Resposta

θ = π 2

θ = 5,64

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