Determine o dominio:

y = raiz quarta(x / (x + 3))

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos achar o domínio!

Para esboçar o domínio precisamos verificar se essa função tem alguma restrição para o valor de x . Entre as restrições temos:

  • O denominador em uma fração não pode ser zero
  • O argumento de uma raiz par não pode ser menor que zero
  • O argumento de uma função logarítmica não pode ser negativo

Então nos temos que verificar duas restrições! A do denominador e a da raiz.

Passo 2

Vamos começar pela primeira restrição: a do denominador não ser nulo.

Verificando qual valor que x não pode assumir, temos

x + 3 ≠ 0

x ≠ - 3

Além disso, temos uma raiz quarta que, assim como a raiz quadrada, não existe para numeros negativos, então:

x x + 3 ≥ 0

Para entender melho esse dominio vamos mexer um pouco nessa expressão

x x + 3 × x + 3 2 ≥ 0 × x + 3 2

x x + 3 ≥ 0

Agora vamos juntar as duas informações.

Passo 3

Assim, como o produto deve ser maior ou igual a zero, temos dois casos:

1º caso: Ambos devem ser maiores ou iguais a que zero simultaneamente:

x ≥ 0

e x + 3 ≥ 0

x ≥ - 3

Para um numero ser maior ou igual a zero e maior ou igual a - 3 simultaneamente, basta que seja maior que zero pois todo x mair que zero é também maior que - 3 .

2º caso: Ambos devem ser menores ou iguais a que zero simultaneamente:

x ≤ 0

e x + 3 ≤ 0

x ≤ - 3

Para um número ser menor ou igual a zero e menor ou igual a - 3 simultaneamente, basta que seja menor ou igual a - 3 pois todo x menor que - 3 é também menor que zero.

Então, reunindo as informações temos:

x ≠ - 3

x ≥ 0

x ≤ - 3

Logo, podemos calcular y desde que usemos valores de x menores que - 3 ou maiores ou iguais a zero.

Assim, temos o domínio:

D : x ∈ R   |   x < - 3     o u     x ≥ 0

Resposta

D : x ∈ R   |   x < - 3     o u     x ≥ 0

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