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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 2.1 - Ex. 15m

Dê o domínio e esboce o gráfico.

m ) y = (2)/(( x - 1 )^2)

Passo 1

Olá pessoal, tudo bem? Vou ajudar vocês nessa questão, vamos lá?

Essa função é do tipo função racional f (x) = (p (x))/(q (x)) . Se vocês não se lembrar dela, é só dar uma olhadinha no exemplo 3 do livro texto, ok?

O domínio de uma função racional do tipo f (x) = (p (x))/(q (x)) tem seu domínio dado por:

D o m_f = {x in R| q (x) != 0 }

Ou seja, para nossa função q (x) = x^2 , temos que o domínio vai ser onde:

q (x) = ( x - 1 )^2 != 0 :. x != 1

Assim o domínio pode ser escrito como:

D o m_f = {x in R| x != 1 }

Passo 2

Mas e a cara dela? Essa função tem a mesma cara de uma hipérbole, no entanto, toda parte de baixo, ou seja, negativa, passa a ser positiva, pois temos um ( x - 1 )^2 embaixo. Outra coisa importante da gente observar é que a cara dela vai ser muito parecida com o gráfico do exercício 15 i , no entando deslocado uma unidade para a direita. Vai ser como se aquele gráfico lá tivesse criado perninhas e dado todo ele um passo pra direita.

Mas temos que fazer uma análise mais formal disso =)

Vamos ao esboço do gráfico?

Vamos primeiro entender o que acontece para x > 0 : à medida que x vai aumentando, y = 2 // ( x - 1 )^2 vai se aproximando de zero, por exemplo:

  • x = 11 ; y = (2)/(( 11 - 1 )^2) = (2)/(100) = 0,02
  • x = 101 ; y = (2)/(( 101 - 1 )^2) = (2)/(10000) = 0,0002

E assim por diante. À medida que x vai se aproximando de 1 , y vai aumentando, saca só:

  • x = 1,5 ; y = (2)/(( 1,5 - 1 )^2) = (2)/((0,5)^2) = 8
  • x = 1,1 ; y = (2)/((1,1 - 1)^2) = 200

E assim por diante. E esse comportamento se repete (sempre fornecendo valores positivos de y ) quando olharmos para valores de x < 0 .

Passo 3

Para esboçar melhor o gráfico, vou escolher quatro valores de x e calcular cada respectivo valor de y :

Então os pontos que pertencem ao gráfico são: (0 , 2) ; (- 1,1 // 2) ; ( 3,1 // 2 ) e ( 2,2 ) . Agora sabendo desses pontos e do comportamento geral da função (descrevemos ali no passo anterior) podemos esboçar o gráfico:

Resposta

D o m_f = {x in R| x != 1 }

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