Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 1.6 - Ex. 54

Determine (a) o domínio de e (b) e seu domínio.

Passo 1

Opa, bora lá! Temos que encontrar o domínio da função e :

Lembrando que Domínio é o conjunto de todos os valores que pode assumir na função, em questões como essa, o que limita um domínio são as condições de existência da equação que define a função.

Ou seja, o domínio são os valores de “permitidos” pra essa função!

Já para achar a função inversa seguimos um passo a passo:

- chamamos ;

- manipulamos a equação pra isolar o ;

ATENÇÃO: pra ficar mais fácil de enxergar, definimos o domínio da inversar.

- depois do isolado, trocamos o por e o por ;

- chamamos ;

E essa função é a inversa.

Passo 2

Nesse problema, temos duas condições de existência a serem cumpridas:

do logaritmo externo:

do logaritmo interno:

Isolando na primeira condição acima:

Agora, é só juntar todas as condições de obtidas, e como a condição do passo anterior já inclui a condição de , concluímos que o domínio da função é tal que:

Passo 3

Vamos agora calcular a função inversa de .

Chamando :

Agora vamos isolar o .

Como temos ln de um lado, podemos aplicar exponencial dos dois lados:

Aplicando exponencial novamente:

E essa é a função inversa (em termos de ):

Passo 4

Com a inversa calculada, agora para definir o domínio, procuremos por condições de existência. Como as funções exponenciais são definidas para todo o conjunto real, não há condições, basta que a abscissa seja um número Real.