Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 1.6 - Ex. 54
Determine (a) o domínio de e (b) e seu domínio.
Passo 1
Opa, bora lá! Temos que encontrar o domínio da função e :
Lembrando que Domínio é o conjunto de todos os valores que pode assumir na função, em questões como essa, o que limita um domínio são as condições de existência da equação que define a função.
Ou seja, o domínio são os valores de “permitidos” pra essa função!
Já para achar a função inversa seguimos um passo a passo:
- chamamos ;
- manipulamos a equação pra isolar o ;
ATENÇÃO: pra ficar mais fácil de enxergar, definimos o domínio da inversar.
- depois do isolado, trocamos o por e o por ;
- chamamos ;
E essa função é a inversa.
Passo 2
Nesse problema, temos duas condições de existência a serem cumpridas:
do logaritmo externo:
do logaritmo interno:
Isolando na primeira condição acima:
Agora, é só juntar todas as condições de obtidas, e como a condição do passo anterior já inclui a condição de , concluímos que o domínio da função é tal que:
Passo 3
Vamos agora calcular a função inversa de .
Chamando :
Agora vamos isolar o .
Como temos ln de um lado, podemos aplicar exponencial dos dois lados:
Aplicando exponencial novamente:
E essa é a função inversa (em termos de ):
Passo 4
Com a inversa calculada, agora para definir o domínio, procuremos por condições de existência. Como as funções exponenciais são definidas para todo o conjunto real, não há condições, basta que a abscissa seja um número Real.
Passo 5
Agora vamos trocar onde tem por e onde tem por
E trocamos por e achamos a função inversa:
Resposta
a)
b)
ℝ