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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 7.Exercícios Práticos - Ex. 28

  1. Se ln ⁡ x x =   ln ⁡ 2 2 , x deve ser igual a 2?
  2. Se ln ⁡ x x =   - 2 ⋅ ln ⁡ 2 , x deve ser igual a 1 2 ?

Justifique suas respostas.

Passo 1

Dadas as condições de existências da função logaritmo que leva em consideração a base positiva e diferente de 1 e o logaritmando maior do que 0 queremos saber para cada alternativa se o valor(es) de x serão, necessariamente, esses que foram mencionados em cada item.

Passo 2

Tomemos então a primeira igualdade ln ⁡ x x =   ln ⁡ 2 2 2 ⋅ ln ⁡ x = x ⋅ ln ⁡ 2 ln ⁡ x 2 = ln ⁡ 2 x

Essa igualdade só é satisfeita se e somente se, x 2 = 2 x

Por inspeção (levando em consideração as condições de existência iniciais) verificamos que os valores de x que satisfazem a igualdade são x = 2 e x = 4 .

Passo 3

Utilizando o mesmo método da questão vamos fazer

ln ⁡ x x =   - 2 ⋅ ln ⁡ 2 ln ⁡ x x =   - 2 ⋅ ln ⁡ 2

ln ⁡ x = 2 x ⋅ ln ⁡ 1 2

ln ⁡ x   = ln ⁡ 2 - 2 x

Essa igualdade é satisfeita quando

x = 2 - 2 x x = 1 2 2 x x = 1 4 x

Tirando a raiz de ordem x em ambos os lados

x 1 x = 1 4

x 1 x = 1 2 2

x 1 x = 1 2 1 1 2

Por comparação tiramos que x = 1 / 2 .

Resposta

  1. Não
  2. Sim
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