Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 1.6 - Ex. 53
Determine (a) o domínio de e (b) e seu domínio.
Passo 1
Opa, bora lá! Temos que encontrar o domínio da função e :
Lembrando que Domínio é o conjunto de todos os valores que pode assumir na função, em questões como essa, o que limita um domínio são as condições de existência da equação que define a função.
Ou seja, o domínio são os valores de “permitidos” pra essa função!
Já para achar a função inversa seguimos um passo a passo:
- chamamos ;
- manipulamos a equação pra isolar o ;
ATENÇÃO: pra ficar mais fácil de enxergar, definimos o domínio da inversar.
- depois do isolado, trocamos o por e o por ;
- chamamos ;
E essa função é a inversa.
Passo 2
Nesse problema, temos uma condição de existência a ser cumprida, uma vez que a função raiz quadrada assume valores imaginários para números negativos, dessa forma:
Agora, basta isolar na inequação acima:
Já concluímos nesse passo que o domínio da função é tal que:
Passo 3
Para seguir, precisamos calcular a inversa de .
Chamando :
Agora vamos isolar o .
Como temos raiz, podemos elevar ao quadrado dos dois lados (e a raiz some)
E essa é a função inversa (em termos de ):
Passo 4
Com a inversa calculada, agora para definir o domínio, procuremos por condições de existência. Como a função logaritmica só é definida para valores positivos, deve-se satisfazer:
Tendo essa condição do passo anterior em mãos e sabendo que é um valor positivo, uma vez que, é resultado de uma raiz (lembra do Passo 3: ), chegamos na condição final:
E assim, a gente acabou de chegar à conclusão do domínio de é:
Passo 5
Agora vamos trocar onde tem por e onde tem por
E trocamos por e achamos a função inversa:
Resposta
a)
b)