Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 13.1 - Ex. 50
Duas partículas se movem ao longo das curvas espaciais e . As partículas colidem? Suas trajetórias se interceptam?
Passo 1
Eaee, belezinha?? Bom... enunciado nos disse que duas partículas se movem ao longo das seguintes curvas espaciais:
Queremos saber se essas partículas colidem. Para isso, devemos igualar e e verificar se existe um onde as três coordenadas são iguais.
Em seguida, queremos saber se as trajetórias se interceptam. Para isso, devemos igualar as coordenadas também, mas em termos de .
Agora bora lá!! 😉
Passo 2
Para sabermos se as partículas colidem, devemos igualar as coordenadas e e ver se há um onde as coordenadas são iguais:
Na primeira coordenada, o único valor que iguala a equação é .
Vamos aplicar esse valor para vermos se as partículas estão na mesma coordenada e para esse valor :
Assim, concluímos que as partículas não colidem.
Passo 3
Para sabermos se elas se interceptam vamos ver se elas ocupam o mesmo lugar no espaço, mesmo que não ao mesmo tempo.
Para isso, devemos igualar as coordenadas também, mas em termos de .
Para
Se , temos:
Para :
Se , temos:
E logo:
Passo 4
Igualando, temos:
Da segunda linha, temos:
Sendo um polinômio de segundo grau, vale Bháskara:
Logo:
Passo 5
Show, esses são os valores de que fazem as coordenadas e de e serem iguais. Para se interceptarem, a coordenada tem que ser igual também. Testando a igualdade:
Temos, pra :
Pra :
Portanto sim, as curvas vão se interceptar! E duas vezes, tanto pra quanto pra !
Em termos de pontos isso seria:
Resposta
As partículas não colidem.
As trajetórias se interceptam em e