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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 1.Exercícios práticos - Ex. 80

Determine o domínio e a imagem de cada função composta. Em seguida, faça o gráfico das compostas em telas separadas. Os gráficos fazem sentido em cada caso? Justifique suas respostas e comente sobre as diferenças que você vê.

  1. y = c o s - 1 ( c o s x )
  2. y = c o s ( c o s - 1 x )

Passo 1

E aí, galera! Vamos lembrar, antes de mais nada, que c o s - 1 é a mesma coisa que a r c o s , ou seja, o arco cujo cosseno vale determinada coisa.

Nosso passo-a-passo vai ficar assim:

  1. Achar o domínio e a imagem;
  2. Fazer o gráfico de cada função;
  3. Responder as perguntas.

Passo 2

LETRA A) y = c o s - 1 ( c o s x )

  1. Bom, vale lembrar que domínio são todos os valores possíveis para x e imagem são todos os valores de y que são ligados nos x .

    2. Para achar o domínio, vamos ver o que acontece com a c o s - 1 ( c o s x ) . Como o cosseno vai de -1 a 1, e ele ali tá valendo c o s x (bugado, né?), temos que - 1 ≤ c o s x ≤ 1 . Pra quais valores de x o cosseno está entre -1 e 1? Todos!

    Então: D ( y ) = R

    A imagem vai ser os arcos que fazem c o s - 1 ( c o s x ) valer. Como não tem restrição pro que tá dentro do c o s - 1 , ele próprio vai poder ser qualquer arco que faz o cosseno variar de -1 a 1. Qual arco faz ele ser -1? O π . E qual faz ele ser 1? O 0 . Então, a imagem vai de 0 até π .

    Então: I m ( y )   =   [ 0 , π ]

  2. O gráfico é assim:

Passo 3

LETRA B) y = c o s ( c o s - 1 x )

  1. Para achar o domínio, vamos ver o que acontece com o c o s ( c o s - 1 x ) . O cosseno não tem restrições pro que tá dentro, então o c o s - 1 x pode ser qualquer número real. Então, se pode ser qualquer arco, o x ali dentro vai, necessariamente, de -1 a 1, que são os valores extremos pro cosseno.

Então: D ( y ) = [ - 1,1 ]

A imagem vai ser os arcos que fazem c o s ( c o s - 1 x ) valer. Como não tem restrição pro que tá dentro do c o s - 1 , ele próprio vai poder ser qualquer arco. Então, a imagem do cosseno que vale qualquer arco vai de -1 a 1, que são os extremos possíveis pra ele.

Então: I m ( y )   =   [ - 1,1 ]

(2) O gráfico vai ficar assim:

Passo 4

(3) Os gráficos fazem sentido?

Repara só:

O primeiro gráfico é de a r c o s , que não é uma função periódica originalmente, ficou com o gráfico de uma função periódica. (Função periódica é aquela que se repete com um certo padrão)

Já o segundo gráfico é de cosseno, que é uma função periódica originalmente, mas seu gráfico não ficou periódico.

Então, eles não fazem sentido.

Resposta

  1. D ( y ) = R , I m ( y )   =   [ 0 , π ] . O gráfico não faz sentido.
  2. D ( y ) = [ - 1,1 ] , I m ( y )   =   [ - 1,1 ] . O gráfico não faz sentido.
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