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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 1.5 - Ex. 22

Determine o domínio e a imagem para a função abaixo.

g t = c o s ⁡ ( e - t )

Passo 1

A questão é bem direta ao ponto. Precisamos determinar o domínio e a imagem de funções compostas que envolvem funções exponenciais. Antes de começar qualquer coisa, vamos relembrar o que é o domínio e a imagem de uma função:

  • O domínio é o conjunto de todos os valores possíveis de t que satisfazem a nossa f ( t ) . Isto é, faz com que f ( t ) exista;
  • A imagem é o conjunto de todos os valores de f ( t ) , para cada valor de t .

Vamos então identificar quais são as funções que originaram na nossa função de estudo. Isto é, queremos identificar f ( t ) e h ( t ) tais que:

g t = f ∘ h t = f h t

O domínio da nossa g ( t ) será todos os valores de t pertencentes ao domínio da função h tais que, a imagem associada h ( t ) pertencem ao domínio da função f . É por isto que precisamos determinar cada uma das funções. Vamos então para a questão.

Passo 2

Não existe nenhuma metodologia bem definida para identificarmos quais são as funções f e h . Neste momento, precisamos utilizar o nosso feeling, isto é, o sentimento. Pode soar estranho, mas com o decorrer dos seus estudos, vocês vão adquiri-lo. Uma única dica é tentar identificar a função mais interna, que neste caso é a h . Analisando a nossa g ( t ) , podemos ver que:

h t = e - t

Consequentemente, se fazemos t = h t = e - t , vamos obter a nossa f ( t ) que é:

f t = c o s ⁡ ( t )

Passo 3

Agora que obtivemos as funções f e h , vamos identificar o domínio e a imagem de cada uma delas. Como a nossa função h t é uma função exponencial, o seu domínio é todos os reais D h = R e a sua imagem é o intervalo ( 0 , ∞ ).

Já a função f ( t ) é uma função cosseno. Ela só existe para qualquer valor de t . Portanto, o seu domínio também são os reais.

Passo 4

Pela definição descrita no Passo 1, como toda a imagem da função h está contida no domínio da função f , o domínio da função g t = f ∘ h t = f h t será o domínio da função h ( t ) , isto é:

D g = R

Passo 5

A determinação da imagem é um procedimento mais complicado. Precisamos analisar calmamente o que acontece com a nossa função. O domínio de f ( t ) será a imagem de h ( t ) . Como os valores de h ( t ) variam de aproximadamente 0 até infinito, e a função cosseno é periódica e varia de -1 até 1, a imagem de g ( t ) será o intervalo ( - 1,1 )

Resposta

  • Domínio: D g = R  
  • Imagem: ( - 1   ,   1 )
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