Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 1.5 - Ex. 22

Determine o domínio e a imagem para a função abaixo.

g t = c o s ⁡ ( e - t )

Passo 1

A questão é bem direta ao ponto. Precisamos determinar o domínio e a imagem de funções compostas que envolvem funções exponenciais. Antes de começar qualquer coisa, vamos relembrar o que é o domínio e a imagem de uma função:

  • O domínio é o conjunto de todos os valores possíveis de t que satisfazem a nossa f ( t ) . Isto é, faz com que f ( t ) exista;
  • A imagem é o conjunto de todos os valores de f ( t ) , para cada valor de t .

Vamos então identificar quais são as funções que originaram na nossa função de estudo. Isto é, queremos identificar f ( t ) e h ( t ) tais que:

g t = f ∘ h t = f h t

O domínio da nossa g ( t ) será todos os valores de t pertencentes ao domínio da função h tais que, a imagem associada h ( t ) pertencem ao domínio da função f . É por isto que precisamos determinar cada uma das funções. Vamos então para a questão.

Passo 2

Não existe nenhuma metodologia bem definida para identificarmos quais são as funções f e h . Neste momento, precisamos utilizar o nosso feeling, isto é, o sentimento. Pode soar estranho, mas com o decorrer dos seus estudos, vocês vão adquiri-lo. Uma única dica é tentar identificar a função mais interna, que neste caso é a h . Analisando a nossa g ( t ) , podemos ver que:

h t = e - t

Consequentemente, se fazemos t = h t = e - t , vamos obter a nossa f ( t ) que é:

f t = c o s ⁡ ( t )

Passo 3

Agora que obtivemos as funções f e h , vamos identificar o domínio e a imagem de cada uma delas. Como a nossa função h t é uma função exponencial, o seu domínio é todos os reais D h = R e a sua imagem é o intervalo ( 0 , ∞ ).

Já a função f ( t ) é uma função cosseno. Ela só existe para qualquer valor de t . Portanto, o seu domínio também são os reais.

Passo 4

Pela definição descrita no Passo 1, como toda a imagem da função h está contida no domínio da função f , o domínio da função g t = f ∘ h t = f h t será o domínio da função h ( t ) , isto é:

D g = R

Passo 5

A determinação da imagem é um procedimento mais complicado. Precisamos analisar calmamente o que acontece com a nossa função. O domínio de f ( t ) será a imagem de h ( t ) . Como os valores de h ( t ) variam de aproximadamente 0 até infinito, e a função cosseno é periódica e varia de -1 até 1, a imagem de g ( t ) será o intervalo ( - 1,1 )

Resposta

  • Domínio: D g = R  
  • Imagem: ( - 1   ,   1 )
Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Classifique cada função como potência, função raiz, função polinomial (estabeleça seu grau), função racional, função algébrica, função trigonométrica, função exponencial, ou função logarítmica. d) v t
Classifique cada função como potência, função raiz, função polinomial (estabeleça seu grau), função racional, função algébrica, função trigonométrica, função exponencial, ou função logarítmica. c) y =
Classifique cada função como potência, função raiz, função polinomial (estabeleça seu grau), função racional, função algébrica, função trigonométrica, função exponencial, ou função logarítmica. d) y =
Classifique cada função como potência, função raiz, função polinomial (estabeleça seu grau), função racional, função algébrica, função trigonométrica, função exponencial, ou função logarítmica. b) y =
A tabela mostra as distância médias d dos planetas ao Sol (tomando como unidade de medida a distância da Terra ao Sol) e seus períodos T (tempo de revolução em anos).(a) Ajuste um modelo de função pot