Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 1.5 - Ex. 24

Determine o domínio e a imagem para a função abaixo.

Passo 1

A questão é bem direta ao ponto. Precisamos determinar o domínio e a imagem de funções compostas que envolvem funções exponenciais. Antes de começar qualquer coisa, vamos relembrar o que é o domínio e a imagem de uma função:

O domínio é o conjunto de todos os valores possíveis de que satisfazem a nossa . Isto é, faz com que exista;
A imagem é o conjunto de todos os valores de , para cada valor de .

Vamos então identificar quais são as funções que originaram na nossa função de estudo. Isto é, queremos identificar e tais que:

O domínio da nossa será todos os valores de pertencentes ao domínio da função tais que, a imagem associada pertencem ao domínio da função . É por isto que precisamos determinar cada uma das funções. Vamos então para a questão.

Passo 2

Não existe nenhuma metodologia bem definida para identificarmos quais são as funções e . Neste momento, precisamos utilizar o nosso feeling, isto é, o sentimento. Pode soar estranho, mas com o decorrer dos seus estudos, vocês vão adquiri-lo. Uma única dica é tentar identificar a função mais interna, que neste caso é a . Analisando a nossa , podemos ver que:

Consequentemente, se fazemos , vamos obter a nossa que é:

Passo 3

Agora que obtivemos as funções e , vamos identificar o domínio e a imagem de cada uma delas. Como a nossa função é uma função exponencial, o seu domínio é todos os reais e a sua imagem é o intervalo ).

Já a função é uma função racional. Ela só não existe nos pontos tais que o denominador é igual a zero. Isto é:

Portanto, , e a sua imagem varia de

Passo 4

Pela definição descrita no Passo 1, como pertence a imagem da nossa , quando , isto é:

O domínio de será o domínio da função menos o ponto . Portanto, temos:

Passo 5

A determinação da imagem é um procedimento mais complicado. Precisamos analisar calmamente o que acontece com a nossa função. O domínio de será a imagem de . Vamos dividir a imagem de em dois intervalos, e e ver o que acontece com a função .

Para o primeiro intervalo, quando , teremos:

Quando , teremos:

Obs: esta simbologia utilizada (- e + nos expoentes) está associado ao caminho em que aproximamos de um número, seja pela esquerda ou pela direita, respectivamente. Estes caminhos serão estudados com mais calma no capítulo de limites laterais.

Portanto, a função varia de até . Vamos agora estudar o que ocorre com o segundo intervalo.