Determine o domínio e a imagem da função e desenhe um esboço de seu gráfico.

f(x) = raiz(x^2 - 3x - 4)

Passo 1

Observe que a função f apresenta uma raiz de ordem par, portanto é preciso garantir que a equação de dentro da raiz seja sempre não negativa. Inicialmente vamos determinar onde x 2 - 3 x - 4 = 0 . Assim

x 2 - 3 x - 4 = 0 ⇒

x = 3 ± - 3 2 - 4 1 - 4 2 1 ⇒

x = 3 ± 9 + 16 2 ⇒

x = 3 ± 25 2 ⇒

x = 3 ± 5 2

Logo, teremos como solução

x = 3 + 5 2 ⇒

x = 8 2 ⇒

x = 4

E também

x = 3 - 5 2 ⇒

x = - 2 2 ⇒

x = - 1

Como x 2 - 3 x - 4 é uma equação do segundo grau, e o coeficiente de x é positivo, seu gráfico será uma parábola côncava para cima como na figura abaixo

Assim, x 2 - 3 x - 4 é não negativa (maior ou igual a zero) quando x ≥ 4 ou x ≤ - 1 . Portanto o domínio de f é D f = - ∞ ,   - 1 ⋃ 4 , + ∞ .

Passo 2

Como f é uma raiz de ordem par, sua imagem será todos os número reais não negativos, ou seja, I m = [ 0 , + ∞ ) .

Passo 3

Observe que em f x = x 2 - 3 x - 4 temos um caso parecido com o exemplo 8 (p.42-43) do livro. Assim o gráfico de f será semelhante ao do exemplo, porém partirá das raízes - 1 e 4 .

Resposta

Portanto, o domínio de f é D f = - ∞ ,   - 1 ⋃ 4 , + ∞ , a imagem é I m = [ 0 , + ∞ ) e o gráfico será dado por

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