Suponha f contínua em R e periódica com período em p , isto é, f ( x ) = f ( x + p ) para todo x .Prove que a função g x = ∫ x x + p f t d t ,x ∈ R é constante. Interprete graficamente.

Pelo teorema fundamental do cálculo, conclui-se que se f for uma função periódica, g será uma constante.

Enunciado

O teorema fundamental do cálculo nos dá,

Aplicando ao problema,

Sabendo que é uma função periódica,

Qual a única maneira de a derivada de ser

Interpretando graficamente (usando uma função periódica qualquer),

Constata-se que a área de um intervalo do tamanho do período, for igual

Pelo teorema fundamental do cálculo, conclui-se que se for uma função periódica, será uma constante.