Suponha f contínua em R e periódica com período em p , isto é, f ( x ) = f ( x + p ) para todo x .

Prove que a função

g x = ∫ x x + p f t d t ,   x ∈ R

é constante. Interprete graficamente.

Passo 1

O teorema fundamental do cálculo nos dá,

F ' ( x ) = ∫ 1 x f ( t ) d t = f ( x )

Passo 2

Aplicando ao problema,

g x = ∫ x 1 f t d t + ∫ 1 x + p f t d t = - ∫ 1 x f t d t + ∫ 1 x + p f t d t

g ' ( x ) = - f ( x ) + f ( x + p )

Sabendo que é uma função periódica,

g ' ( x ) = - f ( x ) + f ( x )

g ' ( x ) = 0

Qual a única maneira de a derivada de g x ser 0 ?

g x = C O N S T A N T E

Passo 3

Interpretando graficamente (usando uma função periódica qualquer),

Constata-se que a área de um intervalo do tamanho do período, for igual

Resposta

Pelo teorema fundamental do cálculo, conclui-se que se f for uma função periódica, g será uma constante.

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