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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 5.10 - Ex. 18

Seja F (x) = int_2^x sqrt(3 t^2 + 1) d t . Encontre:

(a) F ( 2 )

(b) F ' ( 2 )

(c) F ' ' ( 2 )

Passo 1

(a) Para achar F ( 2 ) , é só substituir x por 2 e calcular a integral:

F (2) = int_2^2 sqrt(3 t^2 + 1)

Mas uma integral de 2 até 2 é nula, né? Porque a área de 2 até 2 não existe. Logo:

F (2) = 0

Passo 2

(b) Pelo Teorema Fundamental do Cálculo:

(d)/(d x) (int_a^(g (x)) f (t) d t) = f (g (x)) g ' ( x )

Então:

F ' (x) = (d)/(d x) (int_2^x sqrt(3 t^2 + 1) d t) = (sqrt(3 x^2 + 1)) (x)^' = (sqrt(3 x^2 + 1)) ( 1 )

:.

(d)/(d x) (int_2^x sqrt(3 t^2 + 1) d t) = sqrt(3 x^2 + 1)

Substituindo x por 2 :

F^' (2) = sqrt(3 ( 2 )^2 + 1) = sqrt(13)

Passo 3

(c) Como já temos F ' ( x ) , só precisamos derivar ele mais uma vez:

F ' (x) = sqrt(3 x^2 + 1)

Pela regra do cadeia:

F^(' ') (x) = (6 x)/(2 sqrt(3 x^2 + 1)) = (3 x)/(sqrt(3 x^2 + 1))

Substituindo x por 2 :

F^(' ') (2) = (3 ( 2 ))/(sqrt(3 (2)^2 + 1))

F^(' ') (2) = (6)/(sqrt(13))

Resposta

(a) 0

(b) sqrt(13)

(c) (6)/(sqrt(13))

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