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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 12.5 - Ex. 53

  1. Determine a equação na forma paramétricas da reta obtida pela interseção dos planos

z = x + y , 2 x - 5 y - z = 1

Passo 1

Primeiro devemos lembrar como escrevemos a equação paramétrica de uma reta. Um reta é comporta por um ponto P e um vetor v → , sendo assim podemos escrever que qualquer ponto ( x , y , z ) da nossa reta é descrito como

x , y , z = P + t v →

Outra coisa importante que devemos lembrar, é que dado um plano descrito como

α x + β y + γ z + d = 0

O vetor normal ao plano é dado pelo gradiente da função, ou seja

∇ α x + β y + γ z + d = ( α , β , γ )

Passo 2

  1. A primeira coisa que queremos saber é quando esses planos se cruzam. Neste momento o cruzamento deles forma uma reta. Desta forma basta tomar um ponto em comum em alguma coordenada e substituir na próxima equação.

π 1 : z = x + y  

π 2 : 2 x - 5 y - z = 1 → 2 x - 5 y - x + y = 1

Assim temos

x - 6 y = 1 → x = 1 + 6 y

Vamos agora substituir essa relação em π 1 ficando

π 1 : z = 1 + 6 y + y → 1 + 7 y

Agora vamos tomar y   =   0 → x = 1 e z = 1 . Será que este ponto também se encontra em π 2 ?

π 2 : 2 1 ± 5 0 - 1 = 1

Desta forma temos agora um ponto que consta nos dois planos.

Agora vamos pegar os dois vetores normais ao plano. Tirando o produto vetorial entre eles, vamos obter o vetor diretor da interseção entre os dois planos.

π 1 : v → = ( 1 , 1 , - 1 )

π 2 : u → = ( 2 , - 5 , - 1 )

v → × u → = i ^ j ^ k ^ 1 1 - 1 2 - 5 - 1 = i ^ - 1 - 5 + j ^ - 2 + 1 + k ^ - 5 - 2 = - 6 i ^ - j ^ - 7 k ^  

Assim nossa reta é dada por

x , y , z = 0,1 , 1 + t ( - 6 , - 1 , - 7 )

Resposta

x , y , z = 0,1 , 1 + t ( - 6 , - 1 , - 7 )

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