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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 12.5 - Ex. 51

  1. Determine a equação na forma simétrica da reta de interseção dos planos e (b) determine o ângulo entre os planos.

x + y - z = 2 , 3 x - 4 y + 5 z = 6

Passo 1

Primeiro devemos lembrar como escrevemos a equação paramétrica de uma reta. Um reta é comporta por um ponto P e um vetor v → , sendo assim podemos escrever que qualquer ponto ( x , y , z ) da nossa reta é descrito como

x , y , z = P + t v →

Outra coisa importante que devemos lembrar, é que dado um plano descrito como

α x + β y + γ z + d = 0

O vetor normal ao plano é dado pelo gradiente da função, ou seja

∇ α x + β y + γ z + d = ( α , β , γ )

Já o ângulo entre dos vetores é dado por

cos ⁡ θ = v → ⋅ u → v → | u → |

Passo 2

  1. A primeira coisa que queremos saber é quando esses planos se cruzam. Neste momento o cruzamento deles forma uma reta. Desta forma basta tomar um ponto em comum em alguma coordenada e substituir na próxima equação.

    2. π 1 : x + y - z = 2 → z = x + y - 2

    π 2 : 3 x - 4 y + 5 z = 6 → 2 x - 4 y + 5 x + y - 2 = 6

    Assim temos

    8 x + y = 16 → y = 16 - 8 x

    Vamos agora substituir essa relação em π 1 ficando

    π 1 : x + 16 - 8 x - z - 2 = 0 → z = 14 - 7 x

    Agora vamos tomar x   =   0 → y = 16 e z = 14 . Será que este ponto também se encontra em π 2 ?

    π 2 : 3 0 - 4 16 + 5 14 - 6 = 0 → 0 - 64 + 70 - 6 = 0

    Desta forma temos agora um ponto que consta nos dois planos.

    Agora vamos pegar os dois vetores normais ao plano. Tirando o produto vetorial entre eles, vamos obter o vetor diretor da interseção entre os dois planos.

    π 1 : v → = ( 1,1 - 1 )

    π 2 : u → = ( 3 , - 4,5 )

    v → × u → = i ^ j ^ k ^ 1 1 - 1 3 - 4 5 = i ^ 5 - 4 + j ^ - 3 - 5 + k ^ - 4 - 3 = i ^ - 8 j ^ - 7 k ^  

    Assim nossa reta é dada por

    x , y , z = 0,16,14 + t ( 1 , - 8 , - 7 )

    A equação simétrica é

    t = x = 16 - y 8 = 14 - z 7

    Passo 3

  2. O ângulo entre os planos é dado por

cos ⁡ θ = v → ⋅ u → v → | u → |

v → ⋅ u → = 1,1 , - 1 ⋅ 3 , - 4,5 = 1 3 + 1 - 4 + - 1 5 = 3 - 4 - 5 = 6

E

v → = 1 2 + 1 2 - 1 2 = 3

u → = 3 2 + - 4 2 + 5 2 = 9 + 16 + 25 = 50 = 5 2

Então temos

θ = cos - 1 ⁡ ( 6 / ( 5 3   2 ) )  

Resposta

x = 16 - y 8 = 14 - z 7

θ = cos - 1 ⁡ ( 6 / ( 5 3   2 ) )  

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Prove, usando inclinações, que os três pontos A(3, 1), B(6, 0) e C(4, 4) são vértices de um triângulo retângulo e determine a área do triângulo.
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Dado que uma equação de l 1 2 x + 3 y - 5 = 0 e que uma equação de l 2 3 x + 5 y - 8 = 0 , usando o exercício 58 e sem determinar as coordenadas do ponto de intersecção de l 1 e l 2 , encontre uma equ
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