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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 12.5 - Ex. 52

  1. Determine a equação na forma simétrica da reta de interseção dos planos e (b) determine o ângulo entre os planos.

x - 2 y + z = 1 , 2 x + y + z = 1

Passo 1

Primeiro devemos lembrar como escrevemos a equação paramétrica de uma reta. Um reta é comporta por um ponto P e um vetor v → , sendo assim podemos escrever que qualquer ponto ( x , y , z ) da nossa reta é descrito como

x , y , z = P + t v →

Outra coisa importante que devemos lembrar, é que dado um plano descrito como

α x + β y + γ z + d = 0

O vetor normal ao plano é dado pelo gradiente da função, ou seja

∇ α x + β y + γ z + d = ( α , β , γ )

Já o ângulo entre dos vetores é dado por

cos ⁡ θ = v → ⋅ u → v → | u → |

Passo 2

  1. A primeira coisa que queremos saber é quando esses planos se cruzam. Neste momento o cruzamento deles forma uma reta. Desta forma basta tomar um ponto em comum em alguma coordenada e substituir na próxima equação.

    2. π 1 : x - 2 y + z = 1   → z = - x + 2 y + 1

    π 2 : 2 x + y + z = 1 → 2 x + y + - x + 2 y + 1 = 1

    Assim temos

    x + 3 y = 0 → x = - 3 y

    Vamos agora substituir essa relação em π 1 ficando

    π 1 : - 3 y - 2 y + z = 1 → z = 1 + 5 y

    Agora vamos tomar y   =   0 → x = 0 e z = 1 . Será que este ponto também se encontra em π 2 ?

    π 2 : 2 0 + 0 + 1 = 1

    Desta forma temos agora um ponto que consta nos dois planos.

    Agora vamos pegar os dois vetores normais ao plano. Tirando o produto vetorial entre eles, vamos obter o vetor diretor da interseção entre os dois planos.

    π 1 : v → = ( 1 , - 2 , 1 )

    π 2 : u → = ( 2 , 1 , 1 )

    v → × u → = i ^ j ^ k ^ 1 - 2 1 2 1 1 = i ^ - 2 - 1 + j ^ 2 - 1 + k ^ 1 + 4 = - 3 i ^ + j ^ + 5 k ^  

    Assim nossa reta é dada por

    x , y , z = 0,0 , 1 + t ( - 3 , 1 , 5 )

    A equação simétrica é

    t =   - x 3 = y = z - 1 5

    Passo 3

  2. O ângulo entre os planos é dado por

cos ⁡ θ = v → ⋅ u → v → | u → |

v → ⋅ u → = 1 , - 2 , 1 ⋅ 2 , 1 , 1 = 1 2 + - 1 1 + 1 1 = 2 - 1 + 1 = 2

E

v → = 1 2 + - 2 2 + 1 2 = 6

u → = 2 2 + 1 2 + 1 2 = 6

Então temos

θ = cos 1 ⁡ 2 6   6   = cos - 1 ⁡ 1 3  

Resposta

- x 3 = y = z - 1 5

θ = cos - 1 ⁡ 1 3  

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