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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 15.6 - Ex. 5

Determine a área da superfície.

A parte do cilindro y 2 + z 2 = 9 que está acima do retângulo com vértices 0,0 , 4,0 , 0,2 e 4,2 .

Passo 1

E aiii galerinha, tudo na paz? Bora pra mais uma!!!

O enunciado pede para calcularmos a área da superfície. Essa superfície é a parte do cilindro:

y 2 + z 2 = 9

que está acima do retângulo com vértices:

0,0

4,0

0,2

4,2

Como resolvemos essa?

Primeiro vamos lembrar como calculamos a área de uma superfície. Para isto, basta resolver a seguinte integral:

A s u p = ∬ D 1 + ∂ z ∂ x 2 + ∂ z ∂ y 2 d A

Onde, d A = d x d y .

Portanto, precisamos calcular primeiramente as derivadas parciais de z em função de x e de y para só depois resolvermos as integrais.

Observe a expressão dada. Conseguimos obter uma expressão, basta isolar o z. Logo, vamos ter:

z = 9 - y 2

Para determinar nossos intervalos de integração, vamos esboçar a região retangular. Assim vamos saber os intervalos de variação de x e y .

Agora ficou fácil em pessoal!!! Bora lá resolver!

Passo 2

Vamos determinar primeiramente as derivadas parciais de z .

z = 9 - y 2

Sendo assim,

∂ z ∂ x = 0

∂ z ∂ y = 1 2 2 y 9 - y 2 = y 9 - y 2

Portanto, devemos resolver a seguinte integral:

A s u p = ∬ D 1 + 0 2 + y 9 - y 2 2 d A

Simplificando a expressão dentro da raiz quadrada, vamos ter:

A s u p = ∬ D 3 9 - y 2 d A

Passo 3

Como estamos em uma região retangular com vértices:

0,0

4,0

0,2

4,2

Vamos esboçar essa região no plano x y para identificar os intervalos de x e y .

Esboçando, temos:

Observe que os intervalos de x e y são:

0 ≤ x ≤ 4

0 ≤ y ≤ 2

Agora é so montar a integral pessoal.

Tá mas qual eu coloco primeiro para integrar??

Aqui vale a gente lembrar do Teorema de Fubini, que tanto faz a ordem de integração. Porque estamos com ambos os limites de integração em numerais, então tanto faz qual vamos integrar primeiro.

Portanto, basta resolvermos a seguinte integral:

A s u p = ∫ 0 2 ∫ 0 4 3 9 - y 2 d x d y

Passo 4

Lembre-se, sempre começamos integrando de dentro para fora.

Vamos começar integrando em dx. Integrando vamos ter:

A s u p = ∫ 0 2 3 9 - y 2 ( x ) 0 4 d y

Aplicando os limites de integração, temos:

A s u p = ∫ 0 2 12 9 - y 2 d y

Restou uma integral simples em d y . Aqui vamos ajustar um pouco a integral, porque conhecemos uma integral com essa cara.

Ajustando, temos:

A s u p = 12 ∫ 0 2 1 3 2 - y 2 d y

Faça uma comparação com a integral abaixo:

Assim, concluímos que:

A s u p = 12 ⋅ arcsen ⁡ x 3 0 2

Aplicando os limites de integração, vamos ter como resposta:

A s u p = 12 arcsen ⁡ 2 3

Resposta

A s u p = 12 arcsen ⁡ 2 3

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