Enunciado
Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 13.1 - Ex. 3b
Determine a equação da reta tangente à curva de nível dada, no ponto dado.
Passo 1
A questão pede para acharmos a equação da reta tangente à curva de nível no ponto . Para isso, vamos tomar e dizer que a curva dada é a curva de nível dessa função.
Sabemos que o gradiente de é ortogonal à curva de nível em todos os pontos, de modo que que o calculando-o teremos um vetor perpendicular à reta tangente:
Usando e :
Este é o vetor diretor da reta normal.
Passo 2
O vetor gradiente é ortogonal à curva de nível, mas queremos o vetor tangente. O que fazer? Devemos achar um vetor que que será perpendicular ao gradiente. Para isso, o produto escalar deles deve ser zero:
Portanto,
Como só estamos interessados na direção da reta tangente quando procuramos o vetor diretor da reta tangente, vamos tomar , de modo que o vetor diretor será:
Sabemos que a equação da reta que passa pelo ponto com vetor diretor é dada por:
Assim, a equação pedida será