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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 12.6 - Ex. 45

Determine uma equação da superfície constituída de todos os pontos que são equidistantes do ponto - 1 ,   0 ,   0 e do plano x = 1 . Identifique essa superfície.

Passo 1

Pessoal, pra chegar a uma equação pra superfície descrita no enunciado, primeiro precisamos ser capazes de descrever as distâncias.

Se dissermos que um ponto arbitrário da nossa superfície tem coordenadas x ,   y , então a distância d 1 desse ponto até o ponto - 1 ,   0 ,   0 será:

d 1 = x - - 1 2 + y - 0 2 + z - 0 2

d 1 = x + 1 2 + y 2 + z 2

Passo 2

Agora, vamos escrever a distância d 2 da superfície até o plano x = 1 :

d 2 = x - 1

E por fim, devemos igualar as distâncias d 1 e d 2 :

x + 1 2 + y 2 + z 2 = | x - 1 |

x + 1 2 + y 2 + z 2 2 = x - 1 2

x + 1 2 + y 2 + z 2 = x - 1 2

x 2 + 2 x + 1 + y 2 + z 2 = x 2 - 2 x + 1

4 x = - y 2 - z 2

Pela forma da equação, a superfície é um paraboloide circular, beleza?

Resposta

4 x = - y 2 - z 2

Paraboloide circular

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Coloque a equação na forma padrão, classifique a superfície e esboce-a. y 2 = x 2 + 4 z 2 + 4
Determine o traço da superfície dada nos planos x = k ,y = k , z = k . Identifique a superfície e faça um esboço dela. 4 x 2 + 9 y 2 + 36 z 2 = 36
Determine o traço da superfície dada nos planos x = k ,y = k , z = k . Identifique a superfície e faça um esboço dela. 25 y 2 + z 2 = 100 + 4 x 2
Determine o traço da superfície dada nos planos x = k ,y = k , z = k . Identifique a superfície e faça um esboço dela. 4 y = x 2 + z 2
Determine o traço da superfície dada nos planos x = k ,y = k , z = k . Identifique a superfície e faça um esboço dela. 16 x 2 = y 2 + 4 z 2