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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 12.6 - Ex. 47

Tradicionalmente, a superfície da Terra tem sido modelada por uma esfera, mas o World Geodesic System de 1984 ( W G S - 84 ) usa um elipsoide como um modelo mais preciso. Ele coloca o centro da Terra na origem e o polo norte no eixo z positivo. A distância do centro ao polo é 6356,523   k m e a distância a um ponto do equador é 6378,137   k m .

(a) Encontre uma equação para superfície da Terra como a usada pelo W G S - 84 .

(b) Curvas de latitude constante são cortes nos planos z = k . Qual a forma destas curvas?

(c) Meridianos (curvas com longitude constante) são cortes nos planos da forma y = m x . Qual é a forma destes meridianos?

Passo 1

(a) Pessoal, aqui devemos considerar a superfície da Terra como um elipsoide, portanto sua equação seria:

x 2 a 2 + y 2 b 2 + z 2 c 2 = 1

Como o centro da Terra está na origem, e o polo norte está no eixo z , então podemos dizer que a distância do centro até o polo norte é c = 6356,523 , e a distância do centro até um ponto da linha do equador é a = b = 6378,137 . Portanto nossa equação vai ser:

x 2 ( 6378,137 ) 2 + y 2 ( 6378,137 ) 2 + z 2 ( 6356,523 ) 2 = 1

Passo 2

(b) Show! Agora, pra saber a forma das curvas de latitude constante, vamos substituir z = k na equação, certo?

x 2 ( 6378,137 ) 2 + y 2 ( 6378,137 ) 2 + k 2 ( 6356,523 ) 2 = 1

x 2 ( 6378,137 ) 2 + y 2 6378,137 2 = 1 - k 2 6356,523 2

x 2 + y 2 = 6378,137 - ( 6378,137 ) k 2 6356,523

Veja que isso é a equação de uma circunferência, então a curva tem a forma circular, né?

Passo 3

(c) Beleza! Agora, seguindo o mesmo raciocínio, vamos substituir y = m x na equação do elipsoide pra descobrir a forma dos meridianos:

x 2 ( 6378,137 ) 2 + ( m x ) 2 ( 6378,137 ) 2 + z 2 ( 6356,523 ) 2 = 1

( 1 + m 2 ) x 2 ( 6378,137 ) 2 + z 2 ( 6356,523 ) 2 = 1

x 2 6378,137 1 + m 2 2 + z 2 ( 6356,523 ) 2 = 1

Pela forma da equação, os meridianos têm forma elíptica.

Resposta

(a) x 2 ( 6378,137 ) 2 + y 2 ( 6378,137 ) 2 + z 2 ( 6356,523 ) 2 = 1

(b) Forma circular

(c) Forma elíptica

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Mostre que se o ponto a ,b ,c está em um paraboloide hiperbólico z = y 2 - x 2 , então as retas com equações paramétricas x = a + t ,y = b + t ,z = c + 2 b - a t e x = a + t ,y = b - t ,z = c - 2 b +
Descreva e esboce a superfície.x y = 1
Descreva e esboce a superfície.z = 1 - y^2
Descreva e esboce a superfície.y = z^2