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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 11.3 - Ex. 3

Determine o plano que seja paralelo ao plano z = 2 x + y e tangente ao gráfico de f x , y = x 2 + y 2 .

Passo 1

Para ser tangente ao gráfico de f , tem que estar na fórmula

z - f x 0 , y 0 = f x x 0 , y 0 x - x 0 + f y ( x 0 , y 0 ) ( y - y 0 )

Onde ( x 0 , y 0 ) são as coordenadas do ponto onde o plano tangencia a função. Calculando as derivadas

f x = 2 x

f y = 2 y

Calculando os valores das derivadas e da função no ponto ( x 0 , y 0 )

f x x 0 , y 0 = 2 x 0

f y x 0 , y 0 = 2 y 0

f x 0 , y 0 = x 0 2 + y 0 2

Portanto, temos o plano

z - x 0 2 - y 0 2 = 2 x 0 x - x 0 + 2 y 0 ( y - y 0 )

z - x 0 2 - y 0 2 = 2 x 0 x - 2 x 0 2 + 2 y 0 y - 2 y 0 2

2 x 0 x + 2 y 0 y - z = x 0 2 + y 0 2

Passo 2

Para que dois planos sejam paralelos, a direção da normal dos dois planos tem que ser a mesma. Para o plano que nos deram n → = 2,1 , - 1 , que tem que ser igual a normal que encontramos 2 x 0 , 2 y 0 , - 1 .

Para que dois vetores tenham a mesma direção, um precisa ser múltiplo do outro, então

2 x 0 , 2 y 0 , - 1 = λ 2,1 , - 1

E chegamos no sistema

2 x 0 = 2 λ 2 y 0 = λ - 1 = - λ

Pela última equação

λ = 1

Então

2 x 0 = 2

x 0 = 1

2 y 0 = 1

y 0 = 1 2

E temos o plano

2 x + y - z = 1 + 1 4

2 x + y - z = 5 4

Resposta

2 x + y - z = 5 4

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