- Determine as equações simétricas da reta que passa pelo ponto e é perpendicular ao plano .
- Em que pontos essa reta intercepta os planos coordenados?
Passo 1
- Vamos chamar nosso ponto na reta. E é o vetor paralelo a reta. Uma vez que a nossa reta é perpendicular ao plano, ele é paralelo ao vetor normal do plano (uma vez que o vetor normal também é perpendicular ao plano). Assim podemos pegar o vetor normal do plano para ser o vetor da nossa reta, .
- Para descobrir em que pontos nossa reta corta os planos coordenados, basta pegarmos as equações paramétricas do item (a), igualar cada coordenada a zero e substituir o valor de nas outras equações. Assim:
Lembrando que a forma paramétrica das equações de uma reta é:
Como , substituindo os valores nessas fórmulas, ficamos com:
Passo 2
Vamos começar encontrando a intersecção com o plano , para isso fazemos :
Agora achamos as outras duas coordenadas:
Então o ponto de intersecção da reta com o plano é o
Agora fazendo encontramos a intersecção com o plano :
Como já vimos, nos dá o ponto , então essa é a intersecção com o plano também.
Por último, vamos fazer :
Assim, a intersecção da reta com o plano é o ponto
Resposta
- com os planos e ; com o plano .