Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 15.8 - Ex. 30
Use coordenadas esféricas.
Encontre o volume do sólido que está dentro da esfera , acima do plano e abaixo do cone .
Passo 1
E aí, pessoal! Tudo em paz?
A questão quer que a gente ache o volume entre a esfera:
E o cone
Acima de .
Para achar o volume de um sólido calculamos a integral:
Note que o que falta então são os limites de integração da integral acima, que é dado pela descrição da região que o enunciado traz. Como o próprio enunciado pede, precisamos expressar tudo em coordenadas cilíndricas, onde temos as relações:
E:
Também usamos a equação:
Vamos lá!
Passo 2
Vamos entender nossa região e seus limites de integração:
Analisando a região dada no enunciado, através da esfera
Temos que, para coordenadas esféricas:
Então:
Portanto:
Como parte da origem, temos:
A condição imposta pelo plano impõe que
Assim a gente fica só com a parte do sólido no eixo positivo.
E por fim, o cone:
Reescrevendo em coordenadas esféricas:
Colocando em evidência:
Como:
Ficamos com:
Tirando a raiz quadrada:
Então:
Então, teremos:
Não temos nenhuma restrição para , logo
Dessa forma, podemos escrever a integral representando o volume do sólido como:
Passo 3
Podemos agora separar as integrais conforme suas variáveis, sendo assim, temos:
Resolvendo simultaneamente a integral para as 3 coordenadas, temos:
Aplicando os limites de integração:
Sendo assim, temos que: