Determine e esboce o domínio da função.

f(x, y, z) = ln(16 - 4*x^2 - 4*y^2 - z^2)

Passo 1

Fala ai galerinha! Tranquilo?

Vamos começar a questão montando uma estratégia de resolução. Se liga!

Primeiro vamos identificar a condição para a função estar definida em   l n ⁡ ( 16 - 4 x 2 - 4 y 2 - z ² ) . Para isso precisamos reorganizar a inequação e verificar o padrão da equação comparando com uma curva já existente.

Partiu resolver?

Passo 2

Queremos determinar o domínio de f ( x , y , z ) . Ou seja, queremos saber que valores de x , y ,z que podem ser usados para que f ( x , y , z ) seja real.

Para definir o domínio, é melhor olhar para as restrições.

f x , y , z = l n ⁡ ( 16 - 4 x 2 - 4 y 2 - z 2 )

Logo,

  16 - 4 x 2 - 4 y 2 - z 2 > 0  

Separando os termos literais dos termos não literais

  4 x 2 + 4 y 2 + z 2 < 16  

  4 x 2 4 + 4 y 2 4 + z 2 16 < 1  

Simplificando

x 2 4 + y 2 4 + z 2 16 < 1

Passo 3

Logo, o domínio é definido por

D = x , y , z x 2 4 + y 2 4 + z 2 16 < 1

Trata-se dos pontos no interior do elipsoide x 2 4 + y 2 4 + z 2 16 = 1 , conforme a figura abaixo:

Resposta

D = x , y , z x 2 4 + y 2 4 + z 2 16 < 1

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