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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.3 - Ex. 14

Determine f x e f y e faça os gráficos de f , f x e f y com domínios e pontos de vista que lhe permitam ver a relação entre eles.

f x , y = y 1 + x 2 y 2

Passo 1

Vamos lá! Vou te ajudar a resolver essa atividade hoje.

Dada a função de duas variáveis:

f x , y = y 1 + x 2 y 2

Deveremos encontrar as derivadas parciais:

f x   ; f y

Fazemos isso derivando em relação a variável dada e considerando as outras variáveis como constantes.

Em relação aos gráficos iremos utilizar um software gráfico para gerar e podermos visualizar os gráficos e seus comportamentos.

Veja que por termos aqui uma divisão, deveremos utilizar a regra da divisão para derivadas:

f g ' = f ' ⋅ g - f ⋅ g ' g 2

Passo 2

Derivando com relação a x :

f x , y = y 1 + x 2 y 2

Lembrando da regra do quociente:

f g ' = f ' ⋅ g - f ⋅ g ' g 2

f x = ∂ f ∂ x = 0 ⋅ 1 + x 2 y 2 - y ⋅ 2 x y 2 1 + x 2 y 2 2

Portanto,

f x = - 2 x y 3 1 + x 2 y 2 2

Fazendo o mesmo com relação a y :

f x , y = y 1 + x 2 y 2

f y = ∂ f ∂ y = 1 ⋅ 1 + x 2 y 2 - y ⋅ 2 x 2 y 1 + x 2 y 2 2

Assim,

f y = 1 - x 2 y 2 1 + x 2 y 2 2

Plotando o gráfico de f , obtemos

Já para f x :

Por fim, para f y :

Veja que as derivadas parciais são as taxas de variação da função em relação a variável em que derivamos, é o quanto a função varia em relação àquela variável.

Resposta

f x = - 2 x y 3 1 + x 2 y 2 2

f y = 1 - x 2 y 2 1 + x 2 y 2 2

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