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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 14.3 - Ex. 58

Nos Exercícios 57-60, utilize a definição limite de derivada parcial para calcular as derivadas parciais das funções nos pontos especificados

Passo 1

Nesta tarefa, somos solicitados a encontrar o valor das derivadas parciais em relação a x e y no ponto dado usando a definição de derivada parcial. Lembre-se que a derivada parcial em relação a x no ponto dado x 0 , y 0 (se existir) é definido como:

∂ f ∂ x x 0 , y 0 = l i m h → 0   f x 0 + h , y 0 - f x 0 , y 0 h

f ( - 2,1 ) = 4 + 2 ( - 2 ) - 3 ( 1 ) - ( - 2 ) ( 1 ) 2 = - 1 f ( - 2 + h , 1 ) = 4 + 2 ( - 2 + h ) - 3 ( 1 ) - ( - 2 + h ) ( 1 ) 2 = h - 1 f ( - 2,1 + h ) = 4 + 2 ( - 2 ) - 3 ( 1 + h ) - ( - 2 ) ( 1 + h ) 2 = 2 h 2 + h - 1

Passo 2

∂ f ∂ x ( - 2,1 ) = l i m h → 0   h - 1 - ( - 1 ) h = 1

Passo 3

∂ f ∂ y ( - 2,1 ) = l i m h → 0   2 h 2 + h - 1 - ( - 1 ) h = 1

Resposta

∂ f - 2,1 ∂ x = 1

∂ f - 2,1 ∂ y = 1

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Use a definição de derivadas parciais como limites (4) para encontrar f x ( x ,y ) e f y ( x ,y ) . f x , y = x y 2 - x 3 y
7. Usando a definição, determinar, se existirem ∂ f ∂ x 0,2e ∂ f ∂ y 0,2 , sendo f x , y = x 2 y sen ⁡ 1 x ,x ≠ 0 0 ,x = 0
6. Usando a definição 4.1.1, mostra que f x , y = x 1 5 y 1 3 tem derivadas parciais na origem, valendo ∂ f ∂ x 0,0 = 0e ∂ f ∂ y 0,0 = 0 .
Nos exercícios 1 a 5, calcular as derivadas parciais de 1º ordem usando a definição.5) f x , y = x 2 y + 3 y 2
Nos exercícios 1 a 5, calcular as derivadas parciais de 1º ordem usando a definição. z = 5 x y - x 2