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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 14.3 - Ex. 64

Três variáveis Seja w = ƒ(x, y, z) uma função de três variáveis independentes, e escreva a definição formal da derivada parcial ∂ƒ/∂y em (x0, y0, z0). Utilize essa definição para encontrar ∂ƒ/∂y em (–1, 0, 3) para ƒ(x, y, z) = –2xy2 + yz2.

Passo 1

Nesta tarefa, somos solicitados a encontrar o valor da derivada parcial em relação a zz no ponto dado usando a definição da derivada parcial.

∂ f ∂ y ( - 1,0 , 3 ) = l i m h → 0   f ( - 1 , h , 3 ) - f ( - 1,0 , 3 ) h = l i m h → 0   2 h 2 + 9 h - ( 0 ) h = l i m h → 0   h 2 + 9 h h = l i m h → 0   ( h + 9 ) = 9

Passo 2

∂ f ∂ y x 0 , y 0 , z 0 = l i m h → 0   f x 0 , y 0 + h , z 0 - f x 0 , y 0 , z 0 h   Aqui ,  f ( - 1,0 + h , 3 ) = f ( - 1 , h , 3 ) - 2 ( - 1 ) ( h ) 2 + ( h ) ( 3 ) 2 = 2 h 2 + 9 h f ( - 1,0 , 3 ) = - 2 ( - 1 ) ( 0 ) 2 + ( 0 ) ( 3 ) 2 = 0

Resposta

∂ f ∂ z ​ - 1 ,   0 ,   3 = 9

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