Nos Exercícios 51-54, verifique que w_{xy} = w_{yx} .

Passo 1

Nesta tarefa, somos essencialmente solicitados a verificar se o teorema das derivadas parciais mistas é válido para a função dada w (x , y) . O teorema afirma que, se ambas as derivadas parciais de primeira e segunda ordem forem contínuas, então as derivadas parciais mistas w_x y

e w_{y x} são os mesmos. O procedimento que usaremos aqui é direto, primeiro encontraremos w_{y x} e então encontraremos w_{x y} . Depois de encontrar ambas as expressões, vamos compará-las para verificar o resultado. Nesta tarefa, somos essencialmente solicitados a verificar se o teorema das derivadas parciais mistas é válido para a função dada w_x , y . O teorema afirma que, se ambas as derivadas parciais de primeira e segunda ordem forem contínuas, então as derivadas parciais mistas w_{x y} e w_{y x} são os mesmos. O procedimento que usaremos aqui é direto, primeiro encontraremos w_{y x} e então encontraremos w_{x y} . Depois de encontrar as duas expressões, vamos compará-las para verificar o resultado.

Passo 2

[[(del w)/(del x) = (1)/(2 x + 3 y) * 2 = (2)/(2 x + 3 y)],[(del^2 w)/(del y del x) = (- 6)/(( 2 x + 3 y )^2)]]

[[(del w)/(del y) = (1)/(2 x + 3 y) * 3 = (3)/(2 x + 3 y)],[(del^2 w)/(del x del y) = (- 6)/(( 2 x + 3 y )^2)]]

No entanto, agora podemos ver que as derivadas parciais mistas são as mesmas que verificam a afirmação.

Resposta

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