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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 14.3 - Ex. 63

Três variáveis Seja w = ƒ(x, y, z) uma função de três variáveis independentes, e escreva a definição formal da derivada parcial ∂ƒ/∂z em (x0, y0, z0). Utilize essa definição para encontrar ∂ƒ/∂z em (1, 2, 3) para ƒ(x, y, z) = x2yz2.

Passo 1

Nesta tarefa, somos solicitados a encontrar o valor da derivada parcial em relação a zz no ponto dado usando a definição da derivada parcial.

∂ f ∂ z 1,2 , 3 = l i m h → 0   f 1,2 , 3 + h - f 1,2 , 3 h = l i m h → 0   18 + 12 h + 2 h 2 - 18 h = l i m h → 0   12 h + 2 h 2 h = l i m h → 0   12 + 2 h = 12

Passo 2

∂ f ∂ z x 0 , y 0 , z 0 = l i m h → 0   f x 0 , y 0 , z 0 + h - f x 0 , y 0 , z 0 h   H e r e ,   f ( 1,2 , 3 + h ) = 1 2 ⋅ 2 ⋅ ( 3 + h ) 2 = 2 9 + 6 h + h 2 = 18 + 12 h + 2 h 2

f 1,2 , 3 = 1 2 ∙ 2 ∙ 3 2 = 18

Resposta

∂ f ∂ z ​ 1,2 , 3 = 12

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