Enunciado

Cálculo - Diomara - Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis- Ed: 3º - Capítulo 6.3 - Ex. 7e

7. Determine uma função potencial para cada campo gradiente F dado

e.

Passo 1

Oiii, esse exercício afirma para a gente que nosso campo vetorial é conservativo e que admite uma função potencial. Logo podemos fazer a seguinte relação

Então basicamente para achar os campos conservativos, teremos que integrar parcialmente as componentes de F. Um ponto importante é que ao finalizarmos nosso processo de integração indefinida teremos uma constante arbitraria . E como estamos descobrindo uma função potencial, o zero da nossa função é completamente arbitrário. Logo é Irrelevante o valor de C. Então por conveniência dizemos que

Se você sentir alguma dúvida de como isso funciona, no item 7a eu vou passo-a-passo. É só retornar lá e conferir. Beleza? Partiu cair dentro então!!! \o/

Passo 2

No nosso caso temos a seguinte função

Vamos integrar em relação a x primeiro.

Como toda integração indefinida gera uma constante arbitraria, temos que adicionar essa constante. E como são nossas constantes nessa integral parcial, então essas “constantes” serão (se existir) uma função que depende apenas de , pois