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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 4.8 - Ex. 84

Diga se cada uma das fórmulas está certa ou errada e justifique em poucas palavras.

  1. ∫ tg ⁡ θ sec ² ⁡ θ   d θ = sec 3 ⁡ θ 3 + C
  2. ∫ tg ⁡ θ sec ² ⁡ θ   d θ = 1 2 tg ² ⁡ θ + C
  3. ∫ tg ⁡ θ sec ² ⁡ θ   d θ = 1 2 sec ² ⁡ θ + C

Passo 1

Para conferirmos se a solução atende a equação, derivaremos a resposta dada e veremos se corresponde à expressão.

Passo 2

Solucionando o item a:

Derivando pela regra da cadeia e das funções trigonométricas, teremos:

3 × 3 sec 2 ⁡ θ 3 × sec ⁡ θ tg ⁡ θ + 0

Simplificando, teremos:

3 sec 3 ⁡ θ tg ⁡ θ

Que não satisfaz a integral.

Passo 3

Solucionando o item b:

Derivando pela regra da cadeia e das funções trigonométricas, teremos:

1 2 × 2  tg ⁡ θ × sec ² ⁡ θ + 0

Simplificando:

tg ⁡ θ sec ² ⁡ θ

Que soluciona a integral.

Passo 4

Solucionando o item c:

Derivando pela regra da cadeia e das funções trigonométricas, teremos:

1 2 × 2 sec ⁡ θ × sec ⁡ θ tg ⁡ θ + 0

Simplificando:

sec ² ⁡ θ tg ⁡ θ

Que também satisfaz a equação.

Resposta

Os itens b e c solucionam a integral adequadamente.

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