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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 10.1 - Ex. 12

12- Seja f: R → R   derivável até segunda ordem e tal, que para todo x,

f ' ' x =   - f ( x )

a) Mostre que, para todo x,

d d x f ´ x 2 +   f x 2 = 0

b)Conclua que existe uma constante E tal que, para todo x,

f ´ x 2 + f x 2 = E

Passo 1

a)Gente, para facilitar as nossas vidas vamos chamar essa soma de funções de G(x).

Logo, G x = f ´ x 2 +   f x 2

Agora, vamos derivar G(x) e ver o que encontramos:

G ´ ( x ) = 2   f ' x f ' ' x + 2   f x   f ' x

Vamos usar a condição inicial: f ' ' x =   - f ( x )

Substituindo no nosso G ´ ( x ) :

G ´ x = 2   f x ´ f x ´ ´ - 2   f x ´ ´   f x ´

Caraaaa, corre pro abraço e vai ser feliz porque essa igualdade dá zero

G ´ x = 0

Passo 2

b) Gente, na letra nós provamos que a função G´(x) é igual a zero para qualquer valor de x. Mas o que isso quer dizer???

Isso nos diz que G(x) é uma função constante.

Dessa forma, a nossa constante E é a própria função G(x), que nós já provamos ser constante.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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