12- Seja f: R → R derivável até segunda ordem e tal, que para todo x, f ' ' x =- f ( x ) a) Mostre que, para todo x, d d x f ´ x 2 +f x 2 = 0 b)Conclua que existe uma constante E tal que, para todo x, f ´ x 2 + f x 2 = E

Enunciado

a)Gente, para facilitar as nossas vidas vamos chamar essa soma de funções de G(x).

Logo,

Agora, vamos derivar G(x) e ver o que encontramos:

Vamos usar a condição inicial:

Substituindo no nosso :

Caraaaa, corre pro abraço e vai ser feliz porque essa igualdade dá zero

b) Gente, na letra nós provamos que a função G´(x) é igual a zero para qualquer valor de x. Mas o que isso quer dizer???

Isso nos diz que G(x) é uma função constante.

Dessa forma, a nossa constante E é a própria função G(x), que nós já provamos ser constante.

Ei, a resposta está no passo a passo :)