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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 10.1 - Ex. 11

11- Determine uma função y = f(x), definida num intervalo aberto, satisfazendo as condições dadas :

a) d y d x = x y 3   ,   y 0 = 1

b)   d y d x = y   s e n x   ,   y 0 = 1

Passo 1

a )   d y d x = x y 3 → y 3 d y = x   d x  

Agora, vamos integrar os dois lados dessa equação:

∫ y 3 d y =   ∫ x   d x  

Antes de fazermos essas integrais vamos lembrar que:

∫ x n   d x = x n + 1 n + 1 +   k ,   p a r a   n   ≠ - 1  

Logo,

y 4 4 = x 2 2 +   C

Pera aí, a questão ainda não acabou!

y =   2 x 2 +   k 4

Usando a condição inicial:

1 =   0 + k 4 → k = 1

Dessa forma,

y ( x ) =   2 x 2 +   1 4

Passo 2

b)   d y d x = y   s e n x → d y y = s e n x   d x

Agora, vamos integrar os dois lados dessa equação:

∫ d y y =   ∫ s e n x   d x  

Antes de fazermos essas integrais vamos lembrar que:

y = ln ⁡ x   →   y ´ = 1 x ;

∫ s e n x   d x   = - cos ⁡ x + k

Logo,

ln ⁡ y = c o s x + k

Pera aí, a questão ainda não acabou!

e l n y = e c o s x + k   → y = e - c o s x   e k

Para facilitar a nossa vida, vamos substituir e k por C.

Usando a condição inicial:

1 = e - c o s 0   C → 1 = C e → C = e  

Dessa forma,

y x =   e 1 - c o s x

Resposta

a )   y ( x ) =   2 x 2 +   1 4

b) y x =   e 1 - c o s x

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