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Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol 3- Ed: 5º - Capítulo 1.3 - Ex. 6

Considere o escoamento

v → x , y =   - y ( x 2 + y 2 ) α i → + x ( x 2 + y 2 ) α j →

Onde α > 0 é uma constante. Verifique que r o t   v → x , y ≠ 0 → para α ≠ 1 .

Passo 1

Vamos lá, aqui a gente tem um escoamente bidimensional, então a gente pode calcular o rotacional assim:

r o t   v → = ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y k →

E aqui a gente tem:

Q = x x 2 + y 2 α     e     P =   - y x 2 + y 2 α

Fazendo as derivadas então, ficamos com...

r o t   v → = 1 x 2 + y 2 α - x α x 2 + y 2 α - 1 2 x x 2 + y 2 2 α - - 1 x 2 + y 2 α - - y α x 2 + y 2 α - 1 2 y x 2 + y 2 2 α    

= x 2 + y 2 α - 2 x 2 α x 2 + y 2 α - 1 x 2 + y 2 2 α + x 2 + y 2 α - 2 y 2 α x 2 + y 2 α - 1 ) x 2 + y 2 2 α   k →

= 2 x 2 + y 2 α - α x 2 + y 2 α - 1 2 x 2 + 2 y 2 x 2 + y 2 2 α k →

Passo 2

Vejamos agora nossas condições. Temos que α > 0   e   α ≠ 1 .

Temos também uma condição de existência que x , y ≠ ( 0,0 ) .

A única condição que permitiria que o rotacional fosse 0 seria se:

2 x 2 + y 2 α =   2 x 2 + y 2 ( α x 2 + y 2 α - 1

Ou:

x 2 + y 2 α = x 2 + y 2 ( α x 2 + y 2 α - 1

(usando regra de potenciação)

x 2 + y 2 α = α x 2 + y 2 α

O único valor para α que torna isso possível é α = 1 . Como o exercício exclui essa possibilidade, concluímos que:

r o t   v → ≠ 0       ∀ α ≠ 1

E... pronto😉

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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