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Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol 3- Ed: 5º - Capítulo 1.3 - Ex. 7

Seja F → = P i → + Q j → uma campo vetorial de R 2   e m   R 2 , com P   e   Q diferenciáveis. Sejam u → = cos ⁡ α   i → + s e n   α   j → e v → = - s e n   α i → + cos ⁡ α   j → , onde α ≠ 0 é um real dado. Seja s , t as coordenadas no sistema de coordenadas 0 ,   u → ,   v → .   Assim x , y = s u → + t v → . Observe que x , y = s u → + t v → é equivalente a x = s cos ⁡ α - t s e n   α e y = s   s e n   α + t cos ⁡ α .

  1. Mostre que

    2. F → x , y = P x , y cos ⁡ α + Q x , y s e n   α u → + Q x , y cos ⁡ α - P x , y s e n   α v →

  2. Seja F 1 → s , t = P 1 s , t u → + Q 1 s , t v → onde P 1 s , t = P x , y cos ⁡ α + Q x , y s e n   α e Q 1 s , t = Q x , y cos ⁡ α - P x , y s e n   α com x = s cos ⁡ α - t   s e n   α   e   y = s   s e n   α + t cos ⁡ α . Mostre que ∂ Q 1 ∂ s s , t - ∂ P 1 ∂ t s , t = ∂ Q ∂ x x , y - ∂ P ∂ y ( x , y ) , onde x , y = s u → + t v → . Interprete . (observe que F 1 → s , t =   F → ( x , y ) onde x , y = s u → + t v → )   .

Passo 1

  1. Recapitulando: u → = cos ⁡ α   i → + s e n   α   j → ; v → = - s e n   α i → + cos ⁡ α   j → ; x , y = s u → + t v → .

    2. Beleza, daqui a gente já pode reescrever ( x , y ) como:

    x , y = s cos ⁡ α - t s e n   α i → + s   s e n   α + t cos ⁡ α j →  

    A gente tem também que:

    i → = cos ⁡ α u → - s e n   α v →       e     j → = s e n   α u → + cos ⁡ α v →

    Show! Agora a gente pode escrever F → = P i → + Q j → com esses dados:

    F → x , y = P x , y [ cos ⁡ α u → - s e n   α v → ] + Q x , y s e n   α u → + cos ⁡ α v →

    Reorganizando agora...

    F → x , y = P x , y cos ⁡ α + Q x , y s e n   α u → + Q x , y cos ⁡ α - P x , y s e n   α v →

    Prontinho! Mostramos o que foi pedido😉

    Passo 2

  2. Vamos para a segunda demostração agora...

Vamos começar fazendo as derivadas parciais de x   e   y :

∂ x ∂ s = cos ⁡ α     e ∂ x ∂ t =   - s e n α

∂ y ∂ s = s e n   α     e ∂ y ∂ t = cos ⁡ α

Pela regra da cadeia agora, segue que:

∂ Q 1 ∂ s s , t - ∂ P 1 ∂ t s , t =

∂ ∂ s Q x , y cos ⁡ α - P x , y s e n   α - ∂ ∂ t P x , y cos ⁡ α + Q x , y s e n   α

=   - cos ⁡ α ∂ Q ∂ x ∂ x ∂ s + cos ⁡ α ∂ Q ∂ y ∂ y ∂ s - s e n   α ∂ P ∂ x ∂ x ∂ s - s e n   α ∂ P ∂ y ∂ y ∂ s - cos ⁡ α ∂ P ∂ x ∂ x ∂ t + cos ⁡ α ∂ P ∂ y ∂ y ∂ t - s e n   α ∂ Q ∂ x ∂ x ∂ t - s e n   α ∂ Q ∂ y ∂ y ∂ t

Simplificando (dá pra cortar os que estão multiplicando em diagonal) e substituindo pelas derivadas que fizemos anteriormente, a gente chega em...

s e n 2 α + cos 2 ⁡ α ∂ Q ∂ x x , y - s e n 2 α + cos 2 ⁡ α ∂ P ∂ y x , y  

Usando a identidade trigonométrica s e n 2 α + cos 2 ⁡ α = 1 ...

∂ Q 1 ∂ s s , t - ∂ P 1 ∂ t s , t = ∂ Q ∂ x x , y - ∂ P ∂ y x , y

Que é exatamente o que queríamos demonstrar😊

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Seja r → = xi → + yj → +zk → e r = | r | . Verifique as identidades: ∇ r = r → / r ∇ × r → = 0 ∇ 1 r = - r → / r 3 ∇ ln ⁡ r = r → / r 2
Demonstre a identidade, admitindo que as derivadas parciais apropriadas existem e são contínuas. Se f for um campo escalar e F → e G → forem campos vetoriais, então f F → , F → ⋅ G → e F → × G → serão
Demonstre a identidade, admitindo que as derivadas parciais apropriadas existem e são contínuas. Se f for um campo escalar e F → e G → forem campos vetoriais, então f F → , F → ⋅ G → e F → × G → serão
Seja r → = xi → + yj → +zk → e r = | r | . Verifique as identidades: ∇ ⋅ r → = 3 ∇ ⋅ r r → = 4 r ∇ 2 r 3 = 12 r
Demonstre a identidade, admitindo que as derivadas parciais apropriadas existem e são contínuas. Se f for um campo escalar e F → e G → forem campos vetoriais, então f F → , F → ⋅ G → e F → × G → serão