Seja F = P(i) + Q(j) uma campo vetorial de R² e m R² , com P e Q diferenciáveis. Sejam u → = cos(α) i → + sen(α) j → e v → = -seno α i → + cos α j → , onde α ≠ 0 é um real dado. Seja (s, t) as coordenadas no sistema de coordenadas (0, u →, v →) Assim (x, y) = u + t * v . Observe que (x, y) = s + u + t * v é equivalente a x = s * cos(α) - t * sen(α) e y = s * sen(α) + t * cos(α)

  1. Mostre que
  2. F(x, y) = [P(x, y) * cos(α) + Q(x, y) * sen(α)] + [Q(x, y) * cos(α) - P(x, y) * sen(α)] u → + v →

  3. Seja F1(s, t) = P1(s, t) + Q1(s, t) + u + v onde P₁(s, t) = P(x, y) * cos(α) + Q(x, y) * sen(α) e Q_1(s, t) = Q(x, y) * cos(α) - P(x, y) * sen(α) com x = cos(α) - t * sen(α) * y = sen(α) + t * cos(α) Mostre que ∂Q_1/∂s(s, t) - ∂P_1/∂t(s, t) = ∂Q/∂x(x, y) - ∂P/∂y(x, y) , onde (x, y) = s + u + t + v Interprete . (observe que F1 → (s, t) = F(x, y) onde (x, y) = s + u + t + v .

Passo 1

  1. Recapitulando: u → = cos ⁡ α   i → + s e n   α   j → ; v → = - s e n   α i → + cos ⁡ α   j → ; x , y = s u → + t v → .
  2. Beleza, daqui a gente já pode reescrever ( x , y ) como:

    x , y = s cos ⁡ α - t s e n   α i → + s   s e n   α + t cos ⁡ α j →  

    A gente tem também que:

    i → = cos ⁡ α u → - s e n   α v →       e     j → = s e n   α u → + cos ⁡ α v →

    Show! Agora a gente pode escrever F → = P i → + Q j → com esses dados:

    F → x , y = P x , y [ cos ⁡ α u → - s e n   α v → ] + Q x , y s e n   α u → + cos ⁡ α v →

    Reorganizando agora...

    F → x , y = P x , y cos ⁡ α + Q x , y s e n   α u → + Q x , y cos ⁡ α - P x , y s e n   α v →

    Prontinho! Mostramos o que foi pedido😉

    Passo 2

  3. Vamos para a segunda demostração agora...

Vamos começar fazendo as derivadas parciais de x   e   y :

∂ x ∂ s = cos ⁡ α     e ∂ x ∂ t =   - s e n α

∂ y ∂ s = s e n   α     e ∂ y ∂ t = cos ⁡ α

Pela regra da cadeia agora, segue que:

∂ Q 1 ∂ s s , t - ∂ P 1 ∂ t s , t =

∂ ∂ s Q x , y cos ⁡ α - P x , y s e n   α - ∂ ∂ t P x , y cos ⁡ α + Q x , y s e n   α

=   - cos ⁡ α ∂ Q ∂ x ∂ x ∂ s + cos ⁡ α ∂ Q ∂ y ∂ y ∂ s - s e n   α ∂ P ∂ x ∂ x ∂ s - s e n   α ∂ P ∂ y ∂ y ∂ s - cos ⁡ α ∂ P ∂ x ∂ x ∂ t + cos ⁡ α ∂ P ∂ y ∂ y ∂ t - s e n   α ∂ Q ∂ x ∂ x ∂ t - s e n   α ∂ Q ∂ y ∂ y ∂ t

Simplificando (dá pra cortar os que estão multiplicando em diagonal) e substituindo pelas derivadas que fizemos anteriormente, a gente chega em...

s e n 2 α + cos 2 ⁡ α ∂ Q ∂ x x , y - s e n 2 α + cos 2 ⁡ α ∂ P ∂ y x , y  

Usando a identidade trigonométrica s e n 2 α + cos 2 ⁡ α = 1 ...

∂ Q 1 ∂ s s , t - ∂ P 1 ∂ t s , t = ∂ Q ∂ x x , y - ∂ P ∂ y x , y

Que é exatamente o que queríamos demonstrar😊

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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