Seja F = P \* i + Q \* j uma campo vetorial de R^2 em R^2 , com P e Q diferenciáveis. Sejam u = cos(alpha) i + sen alpha j e v = -sen alpha i + cos alpha j , onde alpha != 0 é um real dado. Seja (s, t) as coordenadas no sistema de coordenadas (0, u, v) Assim (x, y) = s u + t v . Observe que (x, y) = s u + t v é equivalente a x = s \* cos(alpha) - t \* sen(alpha) e y = s sen alpha + t cos alpha

  1. Mostre que
  2. F(x, y) = [P(x, y) cos alfa + Q(x, y) sen alfa] u + [Q(x, y) cos alfa - P(x, y) sen alfa] v

  3. Seja \[F_1(s, t) = P_1(s, t) \overrightarrow{u} + Q_1(s, t) \overrightarrow{v}\] onde P1(s, t) = P(x, y) \* cos(alpha) + Q(x, y) \* sen(alpha) e Q1(s, t) = Q(x, y) cos(α) - P(x, y) sen(α) com x = s \* cos(α) - t \* sen(α) e y = s \* sen(α) + t \* cos(α) Mostre que (∂Q1/∂s)(s, t) - (∂P1/∂t)(s, t) = (∂Q/∂x)(x, y) - (∂P/∂y)(x, y) , onde (x, y) = s \* u + t \* v Interprete . (observe que F1(s, t) = F(x, y) onde (x, y) = s * u + t * v .

Passo 1

  1. Recapitulando: u → = cos ⁡ α   i → + s e n   α   j → ; v → = - s e n   α i → + cos ⁡ α   j → ; x , y = s u → + t v → .
  2. Beleza, daqui a gente já pode reescrever ( x , y ) como:

    x , y = s cos ⁡ α - t s e n   α i → + s   s e n   α + t cos ⁡ α j →  

    A gente tem também que:

    i → = cos ⁡ α u → - s e n   α v →       e     j → = s e n   α u → + cos ⁡ α v →

    Show! Agora a gente pode escrever F → = P i → + Q j → com esses dados:

    F → x , y = P x , y [ cos ⁡ α u → - s e n   α v → ] + Q x , y s e n   α u → + cos ⁡ α v →

    Reorganizando agora...

    F → x , y = P x , y cos ⁡ α + Q x , y s e n   α u → + Q x , y cos ⁡ α - P x , y s e n   α v →

    Prontinho! Mostramos o que foi pedido😉

    Passo 2

  3. Vamos para a segunda demostração agora...

Vamos começar fazendo as derivadas parciais de x   e   y :

∂ x ∂ s = cos ⁡ α     e ∂ x ∂ t =   - s e n α

∂ y ∂ s = s e n   α     e ∂ y ∂ t = cos ⁡ α

Pela regra da cadeia agora, segue que:

∂ Q 1 ∂ s s , t - ∂ P 1 ∂ t s , t =

∂ ∂ s Q x , y cos ⁡ α - P x , y s e n   α - ∂ ∂ t P x , y cos ⁡ α + Q x , y s e n   α

=   - cos ⁡ α ∂ Q ∂ x ∂ x ∂ s + cos ⁡ α ∂ Q ∂ y ∂ y ∂ s - s e n   α ∂ P ∂ x ∂ x ∂ s - s e n   α ∂ P ∂ y ∂ y ∂ s - cos ⁡ α ∂ P ∂ x ∂ x ∂ t + cos ⁡ α ∂ P ∂ y ∂ y ∂ t - s e n   α ∂ Q ∂ x ∂ x ∂ t - s e n   α ∂ Q ∂ y ∂ y ∂ t

Simplificando (dá pra cortar os que estão multiplicando em diagonal) e substituindo pelas derivadas que fizemos anteriormente, a gente chega em...

s e n 2 α + cos 2 ⁡ α ∂ Q ∂ x x , y - s e n 2 α + cos 2 ⁡ α ∂ P ∂ y x , y  

Usando a identidade trigonométrica s e n 2 α + cos 2 ⁡ α = 1 ...

∂ Q 1 ∂ s s , t - ∂ P 1 ∂ t s , t = ∂ Q ∂ x x , y - ∂ P ∂ y x , y

Que é exatamente o que queríamos demonstrar😊

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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