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Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol 3- Ed: 5º - Capítulo 1.3 - Ex. 5

Considere o escoamento bidimensional v → x , y =   - y x 2 + y 2 i → + x x 2 + y 2 j → .

  1. Desenhe tal campo.
  2. Calcule r o t   v → e interprete-o.

Passo 1

  1. Vamos fazer desenho do campo primeiro. O vetor v → ( x , y ) é tangente à circunferência que passa pela pela origem, no ponto ( x , y ) . Com isso a trajetórias das partículas do campo são circunferências de centro na origem também.

    2. Passo 2

  2. Vamos calcular o rotacional agora. Como temos só duas dimensões, podemos fazer:

r o t = ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y k →

Sendo que aqui nós temos:

Q = x x 2 + y 2   e   P =   - y x 2 + y 2

Bora lá então...

r o t   v → = 1 x 2 + y 2 - 2 x x x 2 + y 2 2 - - 1 x 2 + y 2 - - y 2 y x 2 + y 2 2 k →

= x 2 + y 2 - 2 x 2 x 2 + y 2 2 - - x 2 - y 2 + 2 y 2 x 2 + y 2 2 k →

= - x 2 + y 2 + x 2 - y 2 x 2 + y 2 2

= 0 x 2 + y 2 2

r o t   v → =   0 →

Como o rotacional deu zero, concluímos que o campo é irrotacional.

Resposta

  1. Desenho.
  2. r o t   v → = 0 → . Irrotacional.
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