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Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol 3- Ed: 5º - Capítulo 1.3 - Ex. 2

Considere o campo de força central g → x , y = f r → r → onde f :   R → R é uma função derivável e r → = x i → + y j → . Calcule r o t   g → .

Passo 1

Escrevendo a função g a gente fica com:

g → x , y = f x 2 + y 2 x i → + y j →

(lembrando que | r → | é a norma de r → )

Desenvolvendo ali, a gente fica com:

g → x , y = x f x 2 + y 2 i → + y f x 2 + y 2 j →

Ok, agora a gente calcula o rotacional normalmente.

Passo 2

Vamos calcular usando a definição de rotacional dessa vez. Usamos a fórmula

∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y

Vamos lá então...

∂ Q ∂ x = f x 2 + y 2 + y 2 x 2 + y 2 2 x

= f x 2 + y 2 + x y x 2 + y 2

∂ P ∂ y = f x 2 + y 2 + x 2 x 2 + y 2 2 y

= f x 2 + y 2 + x y x 2 + y 2  

E daí o rotacional é:

r o t   g → =   f x 2 + y 2 + x y x 2 + y 2 - f x 2 + y 2 + x y x 2 + y 2

r o t   g → = 0

Prontinho!

Resposta

r o t   g → = 0

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